¿Es la siguiente serie infinitamente diferenciable?

Question

Dejemos que $f:\mathbf{R}\to\mathbf{R},\, f\in C^\infty,\, f(0)=f'(0)=0$ y consdier la serie $$\sum_{n=1}^\infty f\left(\frac{x}{n}\right)$$ Quiero demostrar que esta serie define una función infinitamente diferenciable $F$ en $\mathbb R.$ Supongo que todo lo que necesito mostrar es que $\sum f\left(\frac{x}{n}\right)$ converge uniformemente, pero no sé cómo demostrarlo. Sé que si $\sum f'\left(\frac{x}{n}\right)$ converge uniformemente y $\sum f\left(\frac{x}{n}\right)$ converge puntualmente para algún $x$ (por ejemplo, 0), entonces $\sum f\left(\frac{x}{n}\right)$ converge absolutamente, pero eso no lo hizo más fácil. ¿Es correcto mi planteamiento? Si es así, ¿cómo debo proceder?

Answer 1

Un comienzo: Para cualquier $x$ Taylor da

$$\tag 1 f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(c)x^2/2= f''(c)x^2/2$$

para algunos $c$ entre $0$ y $x.$ Dejemos que $R > 0,$ y que $M_R = \sup_{[-R,R]} |f''|.$ Si $|x|\le R,$ entonces de $(1)$ vemos

$$|f(x/n)| \le M_R|x/n|^2/2 \le M_R R^2/n^2.$$

Por Weierstrass M, $\sum f(x/n)$ converge uniformemente en $[-R,R].$ De ello se desprende que $F$ es continua en $[-R,R].$ Desde $R$ es arbitraria, $F$ es continua en $\mathbb R.$

Estas ideas deberían ser útiles para demostrar que $F^{(n)}(x)$ eixsts para todos $x\in \mathbb R$ y $n\in \mathbb N.$