Estimar una distribución de encima/debajo observaciones

Question

Deje $P$ ser un desconocido distribución en $(-\infty,\infty)$. Deje $X_1,\ldots,X_n$ ser un alcoholímetro de la muestra de $P$. Deje $c_1,\ldots,c_n\in(-\infty,\infty)$ ser un conocido conjunto de constantes. Observamos $Y_1,\ldots,Y_n$ donde $Y_i = 1(X_i < c_i)$. (Es decir, $Y_i=1$ si $X_i<c_i$ $0$ lo contrario.) Estoy buscando algo de "razonable" que los estimadores de la distribución de $P$.

Y ¿qué quiero decir con "razonable"? Supongamos, por simplicidad, que el $P$ es compatible en [0,1], y el $c_i$ son iid muestra de Uniforme[0,1]. $P$ probablemente tiene átomos, pero podemos pasar por alto que si se invita a los más respuestas.

Llame a $\hat{P}_n$ "razonable" estimador de $P$ si, con una probabilidad de $1$ sobre la selección de la $c_i$s, $\hat{P}_n$ converge a $P$ en distribución.

NOTA: en realidad podemos considerar el $c_i$ de los puntos de diseño que puede ser elegido por el experimentador. Que parece un tema aparte, y no quiero complicar la cuestión. Pero si usted tiene un estimador que requiere de un conjunto particular de $c_i$'s, que también está bien.

Answer 1

Usted podría intentar directamente la estimación de la CDF a través de un binomio tasa más suave ? Aquí es una visión idealizada ejemplo para x derivados de una distribución normal:

   ci = seq(from=-3,to=3,length=500)
   X = rnorm(500)
   Y = rep(NA, 500)
   for (i in 1:500) Y[i] = as.numeric(X[i] < ci[i] )
   plot(ci,Y, type="s")
   library(mgcv)
   library(boot)
   fit=gam(Y~s(ci), family=binomial(link="logit"))
   plot(fit, trans=inv.logit, shade = TRUE)

Para hacer cumplir monótona de comportamiento, en el ejemplo anterior, cambiar el código para:

library(scam)
fitMonotone=scam(Y~s(ci,bs="mpi"), family=binomial(link="logit"))

InvLogit = function(x, SCALE=TRUE) {
  if (SCALE) x = x -mean(x)
  return(exp(x)/(1+exp(x)))
}

plot(fitMonotone, trans=InvLogit, shade = TRUE)