Mostrando que $f(x)^p=f(x^p)$ en el campo de la característica $p$

Question

Estoy tratando de mostrar que para cualquier $f(x)\in F[x]$ donde $F$ es un campo de caracteres $p$,$f(x)^p=f(x^p)$.

Me imaginé que si $f(x)=\sum a_ix^i$,$f(x)^p=\sum a_i^px^{ip}$$f(x^p)=\sum a_ix^{ip}$, pero no estoy seguro de cómo conseguir que la $a_i^p-a_i=0$.

Uno puede, sin duda, el uso de Fermat poco teorema si $F\cong \mathbb{Z}_p$, pero ¿qué pasa cuando se $\mathbb{Z}_p$ está contenido en $F$, por ejemplo, $F=\mathbb{Z}_p(x)$?

Answer 1

Usted está teniendo dificultades para probar porque no es cierto. De hecho, si $a\in F$ es tal que $a^p=a$, $a$ debe ser en $\mathbb{Z}_p$ (prueba: el polinomio $x^p-x$ sólo puede tener $p$ raíces en $F$, y cada elemento de a $\mathbb{Z}_p$ es una raíz). Lo cierto es que $f(x)^p=g(x^p)$ donde $g$ es el polinomio obtenido a partir de $f$ mediante la sustitución de cada coeficiente por su $p$th poder.