Forma cerrada para $\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n n^a H_n}{2^n}$

Question

¿Existe una forma cerrada para la suma $$\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n n^a H_n}{2^n},$$ donde $H_n$ son números armónicos : $$H_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=\frac{\Gamma'(n+1)}{n!}+\gamma.$$

Esta es una generalización de mi pregunta anterior que era sólo un caso especial para $a=4$ .

Answer 1

Sustituir $n^a$ por $$n^a=\frac{1}{\Gamma(-a)}\int_0^{\infty}t^{-a-1}e^{-nt}dt,$$ y también utilizar el truco descrito aquí para transformar su suma en \begin{align}\frac{1}{\Gamma(-a)}\int_0^{\infty}t^{-a-1}\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{n=k}^{\infty}\frac{1}{k}\left(-\frac{e^{-t}}{2}\right)^n dt &=\frac{1}{\Gamma(-a)}\int_0^{\infty}\frac{t^{-a-1}}{1+\frac12 e^{-t}}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}\left(-\frac{e^{-t}}{2}\right)^k dt=\\ &=\frac{-1}{\Gamma(-a)}\int_0^{\infty}\frac{t^{-a-1}}{1+\frac12 e^{-t}}\ln\left(1+\frac12 e^{-t}\right) dt.\end{align} Sin embargo, no creo que esto pueda simplificarse más. Se puede calcular esta integral para $a$ dados por enteros negativos y la respuesta debe ser dada por polilogaritmos de orden creciente. No puedo imaginar una función agradable que interpolara tales valores.

De hecho, para los enteros negativos $a$ se puede escribir una fórmula general explícita para la suma en la forma $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n}{n^{N-1}}x^n=\gamma\, \mathrm{Li}_{N-1}(x)+\left[\frac{\partial}{\partial s}\left\{x\Gamma(1+s)\cdot {}_{N+1}F_{N}\left[\begin{array}{c}1,\ldots,1,1+s\\ 2,\ldots,2\end{array};x\right]\right\}\right]_{s=1},$$ que se deduce de la representación en serie de $_pF_q$ y su última fórmula $H_n=\gamma+\psi(n+1)$ .