Producto de $L^{1}$ Función y de manera Exponencial Función Integrable

Question

Problema. Deje $g\geq 0$ $L^{1}[0,1]$ y supongamos que $\int gfdx<A$ siempre $\int e^{f}dx\leq 1$.

• ¿Qué se puede decir acerca de la $|\{g>\lambda\}|$$\lambda\gg 1$.
• Es $g\in L^{2}[0,1]$?

El de arriba es un viejo qual problema con el que he estado luchando. Hay una pista para la primera pregunta, que dice a considerar $f=c\chi_{E}$. Si $f$ satisface $\int e^{f}dx\leq 1$, luego

$$\int e^{f}dx=e^{c}|E|+|E^{C}|\leq 1\Leftrightarrow e^{c}\leq 1$$

I. e. $c\leq 0$. Yo no estoy viendo cómo esto ayuda a mí, sin embargo.

Obviamente, por Chebyshev, $|\{g>\lambda\}|\leq\|g\|_{L^{1}}\lambda^{-1}$, pero supongo que el punto de la primera cuestión es determinar si podemos conseguir una mejor descomposición de este. Para la segunda pregunta, la decadencia mejor que $\lambda^{-2}$ sería una respuesta afirmativa; pero no tengo un contraejemplo de lo contrario. Alguna ayuda?

Answer 1

Tal vez es mejor utilizar la función de $f=a\chi_E-b$. Con el fin de satisfacer $\int e^f\leqslant 1$, debemos tener $b\geqslant \log\left(\left|E\right|\left(e^a-1\right)+1\right)$. Por lo tanto, para cualquier conjunto medible $E$$a\gt 0$, la función de $f:=a\chi_E-\log\left(\left|E\right|\left(e^a-1\right)+1\right)$ satisface $\int e^f\leqslant 1$. Por supuesto, tenemos $$a\int_E g\mathrm d\lambda\leqslant A+\log\left(1+\left(e^a-1\right)\left|E\right|\right)\int_{[0,1]}g\mathrm d\lambda.$$ Tomando $a:=\log(1+t)$$t\gt 0$, esto se convierte en $$\tag{*}\log(1+t)\int_E g\mathrm d\lambda\leqslant A+\log\left(1+t\left|E\right|\right)\int_{[0,1]}g\mathrm d\lambda.$$ Definir $\varepsilon(u):=\left|\{g\gt u\}\right|$. Tenemos (teniendo en $t=1/\varepsilon(u)$$E:=\{g\gt u\}$) $$-u\cdot \varepsilon(u)\cdot\log\left(\varepsilon(u)\right)\leqslant K$$ para algunos $K$ independiente de $u$. Tal vez una buena optimización en (*) dará mejores resultados.