Which of the following numbers is the greatest in value?

Question

Que el plazo de la expansión binomial de $\left(1+\sqrt{2}\right)^{50}$ es el más grande?

¿Cómo lo puedo encontrar, sin comparar todos 51 los valores?

Hay una forma más rápida de hacerlo? (La solución se dice que es el número de índice 30)

Answer 1

Comparar cada dos términos consecutivos por escrito $$\frac{T_{r+1}}{T_r}=\frac{\binom{50}{r}(\sqrt{2})^r}{\binom{50}{r-1}(\sqrt{2})^{r-1}}$$ Y, a continuación, ver donde esta fracción es mayor que 1 y cuando es menor que 1.

Answer 2

Considere la posibilidad de la expansión de la $(1+p)^m$, que está dada por $$(1+p)^m=\sum_{r=0}^{m}\underbrace{{m\choose r }p^r}_{u_r}$$

Tenga en cuenta que $$u_{r+1}={m\choose r+1}p^{r+1}=\frac{m-r}{r+1}\color{blue}{{m\choose r}p^r}\cdot p=\left[\frac{m-r}{r+1}\cdot p\right]\color{blue}{u_r}$$ Para $u_{r+1}<u_r$ (en orden de $u_r$ a ser el mayor plazo), $$\frac{m-r}{r+1}\cdot p<1 \Rightarrow r>\frac{mp-1}{p+1}$$ Aquí $m=50, p=\sqrt2$, por lo tanto $$r>28.8\Rightarrow r=29$$ es decir, la mayor plazo es el 30 de plazo, dado por $$u_{29}={50\choose 29}(\sqrt2)^{29}$$

NB - el primer término corresponde a $u=0$