Descargo de responsabilidad: Esta es sólo una respuesta parcial.
El área de la región a la que te refieres es
$$
A = \sum_{n=1}^\infty\int_{y_n}^{y_{n+1}}\left[\left(\frac{3\pi}2-\arcsin\cos(y^y)\right)-\left(\frac{\pi}2+\arcsin\cos(y^y)\right)\right]\text{d} y
$$
donde $y_n$ es la secuencia de sucesivos puntos donde la función $\arcsin\cos(y^y)$ no es diferenciable (vamos a determinar más tarde). La forma en que hemos obtenido esta integral es de anotar que la eqaution $\cos(y^y) = \sin(x)$ es un periódico continuación de la ecuación de $x=\arcsin(\cos(y^y))$ (y su reflejo a través de la línea de $x=\pi/2$), con un periodo $\pi$.
Nota: Usted puede ver esto de ir por delante y una representación gráfica de la función anterior de $y$ junto a su gráfica de la ecuación implícita de arriba.
EDIT: no puedo creer que me perdí, pero me di cuenta de que la suma que se simplifica a $\int_{y_1}^\infty$ de la función. Puede omitir algunas de las secciones que a continuación acerca de la $y_n$ si usted lo prefiere.
Deje $f(y) = \arcsin(cos(y^y))$. La razón por la que estamos integrando más de $[3\pi/2-f(y)] - [\pi/2+f(y)]$, a diferencia de simplemente $[\pi-f(y)]-f(y)$ es debido a $f(y)$ es negativo, con valor mínimo $\pi/2$, por lo que tendremos que cambiar todo para que la zona positiva.
Deje $I_n$ denotar la integral en el sumando más arriba. Entonces
$$
I_n = \int_{y_n}^{y_{n+1}}(\pi - 2f(y))\text{d} y = \pi(y_{n+1}-y_n)-2\int_{y_n}^{y_{n+1}}f(y)\text{d} y
$$
Wolfram Alpha no da la forma cerrada para la integral indefinida de $f(y)$ en términos de funciones elementales (o trascendental/especiales para el caso), por lo que puede ser de utilidad para nosotros saber lo que es exactamente el$y_n$.
Lo que sucede exactamente en los puntos donde se $f(y)$ no es derivable? Estos son los puntos donde $\cos(y^y)$ llega a un punto crítico, y luego se va en la dirección opuesta. Otra manera de ver esto es de señalar que $\arcsin\cos x$ es una transformación de la onda triangular, que tiene puntos de inflexión en los puntos críticos de $\cos x$.
Por lo tanto, son puntos de $y_n$ son los puntos críticos de $\cos(y^y)$. La derivada de $\cos(y^y)$ es
$$
\frac{\text{d}}{\text{d}y}\cos(x^y) = -y^y(\ln(y)+1)\sin(x^y)
$$
La configuración de este igual a cero da $y_1 = \frac1e$ (lo que le da $\ln(y)=-1$), y $y_n = \exp(\text{W}(\ln(\pi n)))$ $n>1$ (donde $\text{W}(x)$ es la función W de Lambert).
Considere la posibilidad de $n>1$. Entonces
$$
I_n = \int_{e^{\text{W}(\ln(\pi n))}}^{e^{\text{W}(\ln(\pi(n+1)))}}\arcsin(\cos(x^x))\text{d}x
$$
Podemos hacer la sustitución $u=x^x$ señalando que $x = \text{W}(\ln u)$, y por lo $\text{d}u = x^x(\ln x + 1)\text{d} x = u(\text{W}(\ln u) + 1)\text{d}x$, lo que da
$$
I_n = \int_{\pi n}^{\pi (n+1)}\frac{\arcsin(\cos u)}{\text{W}(\ln u) + 1}\frac{\text{d}u}{u}
$$
Aquí es donde he de ejecutar fuera de tiempo, y parcialmente fuera de las ideas. Yo no veo ninguna ruta sencilla a tomar para evaluar esta integral, y no he echado un buen vistazo a su asymptotics para determinar si la suma incluso convergen. Espero que esto tiene al menos arrojar algo de luz sobre un enfoque para el problema.
EDIT: me di cuenta de que yo podría haber sido complicar las cosas mediante la introducción de $y_n$, y no mencionar que, dado que las integrales en el sumando tienen consecutivos puntos de inicio y fin, podemos escribir el área de
$$
\begin{aligned}
A & = \int_{y_1}^\infty(\pi-2f(y))\text{d}y \\
& = \lim_{N\to\infty}\left(\pi\left(N-\frac1e\right)-2\int_{e^{-1/e}}^{N^N}\frac{\arcsin(\cos(u))}{\text{W}(\ln u)+1}\frac{\text{d}u}{u}\right)
\end{aligned}
$$
No he mirado mucho en este límite aún.
