Ayuda mostrando subadditivity del mapa

Question

Yo estoy atascado con el siguiente problema. Que ver en el mapa: r(x)=\inf\limits_{k\in\mathbb{N}}\limsup\limits_{m\to\infty}\frac{1}{k}\sum\limits_{j=0}^{k-1}S^j(x)(m) es subadditive en $\ell_\infty(\mathbb{N})$. Aquí $$S:\ell_\infty(\mathbb{N})\to\ell_\infty(\mathbb{N}): (x(1),x(2),x(3),\ldots)\mapsto(0,x(1),x(2),x(3),\ldots)$$

Cualquier ayuda mucho apreció!

Answer 1

Voy a utilizar ligeramente notación diferente para que yo pueda copiar parte del texto a partir de una mayor respuesta. En esa respuesta se puede leer cómo esto está relacionado con la existencia y los posibles valores de los límites de Banach.

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Deje $T:\ell_\infty\to\ell_\infty$ cambio de operador $T:{(x_n)}\mapsto{(x_{n+1})}$.

Para cualquiera limitada secuencia $x$ definimos $T_n(x)=\frac{x+Tx+\dots+T^{n-1}x}n$. I. e., $T_n(x)$ es la secuencia de las $\left(\frac{x_k+x_{k+1}+\dots+x_{k+n-1}}n\right)_{k=1}^\infty$. Deje que nos indican $$\begin{gather*} M(x)=\lim_{n\to\infty} \limsup T_n(x) = \inf_{n\in\mathbb N} \limsup T_n(x),\\ m(x)=\lim_{n\to\infty} \liminf T_n(x) = \inf_{n\in\mathbb N} \liminf T_n(x). \end{reunir*}$$ El hecho de que la la por encima de los límites existen y de que son iguales a infima puede ser mostrado usando Fekete del lexema - una prueba de este lema se puede encontrar en esta respuesta. He añadido los detalles a continuación.

Tenga en cuenta que $M(x)$ es la misma cosa como lo que denota $r(x)$ en su pregunta.

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Es fácil ver, que por cada $n\in\mathbb N$, y para cada $x,y\in\ell_\infty$ tenemos $T_n(x+y)=T_n(x)+T_n(y)$. Ahora podemos conseguir $$\limsup T_n(x+y) = \limsup(T_n(x)+T_n(y)) \le \limsup T_n(x)+\limsup T_n(y)$$ desde el subadditivity de límite superior.

Ahora, a partir de las propiedades básicas de límite de obtener $$M(x+y) = \lim_{n\to\infty} \limsup T_n(x+y) \le \lim_{n\to\infty} (\limsup T_n(x) +\limsup T_n(y))= \lim_{n\to\infty} \limsup T_n(x) + \lim_{n\to\infty} \limsup T_n(y) = M(x)+M(y).$$

(Probablemente sería posible obtener el resultado deseado con $\inf$ en lugar de $\lim$, pero creo que de esta manera la solución es mejor.)

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Ahora vuelvo al hecho de que ambas expresiones (el uso de $\lim$ y el uso de $\inf$ son los mismos.)

Una secuencia $(a_n)$ se llama subadditive si por cualquier $m,n\in\mathbb N$ $$a_{n+m}\leq a_n+a_m.$$

Fekete del lexema. Para cada subadditive secuencia $(a_n)$, el límite de $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{n}$ existe y es igual a $\inf \frac{a_n}{n}$. (El límite puede ser $-\infty$.)

Así que para aplicar Fekete el lema que tenemos que mostrar que $a_n=\limsup_k (x_k+x_{k+1}+\dots+x_{k+n-1})$ es un subadditive secuencia. Basta notar que $$a_{m+n} = \limsup (x_k+x_{k+1}+\dots+x_{k+n-1}+x_{k+n}+\dots+x_{k+n+m_1})\le \limsup (x_k+x_{k+1}+\dots+x_{k+n-1})+\limsup(x_{k+n}+\dots+x_{k+n+m_1}) = a_n+a_m.$$

Answer 2

Indicar $T_k:=\displaystyle\frac1k\cdot (I+S+S^2+\dots+S^{k-1}$), entonces el $\ T_k{\bf x} = \left( \frac{x_0+..+x_{k-1}}{k}, \frac{x_1+..+x_k}{k}, \frac{x_2+..+x_{k+1}}{k} ,\dots\right)$.

Para dado $\bf x$, $\bf y$, por la definición de $\inf$, cada $\varepsilon>0$ hay $k$ $l$ índices y tal que el $\limsup (T_k{\bf x}) < r({\bf x})+\varepsilon/2 \ $ y $\ \limsup(T_l{\bf y}) < r({\bf y})+\varepsilon/2$.

Tenemos que proporcionar un $m\in\mathbb N$ tal que $\limsup(T_m({\bf x+y})) \le \limsup(T_k{\bf x}) + \limsup(T_l{\bf y})$...