Dado un esquema de $(X,\mathcal O_X)$ y una gavilla $\mathcal F$ $O_X$- Módulos, los siguientes son equivalentes:
a) existe un cubrimiento $\mathcal U=(U_i)$ $X$ por la apertura de los subconjuntos $U_i\subset X$ $\mathcal O_{U_i}$- isomorphisms $\mathcal F|U_i \simeq \tilde M_i$ para algunos de la familia de $\mathcal O(U_i)$-módulos de $M_i$.
b) Para cada afín a abrir subconjunto $U\subset X$ existe un $\mathcal O(U)$-módulo de $M$ ( es decir,$M=\mathcal F (U)$) y un $\mathcal O_{U}$-isomorfismo $\mathcal F|U \simeq \tilde M.$
Esta equivalencia es un teorema, demostrado por ejemplo en Mumford, un Libro Rojo, en el comienzo del Capítulo III, en el §1 (junto con otras caracterizaciones equivalentes). Este tiene nada que ver con noetherian hipótesis.
Y ahora coherente de las poleas.
Recuerdo que una gavilla $\mathcal F$ $O_X$- Módulos que se dice ser finitely generado si para cada a $x\in X$ existe un abierto de vecindad $U$ $x$ y un surjective gavilla homomorphism $\mathcal O_{U}^r \to \mathcal F|U \to 0$ para algunos entero $r$. La gavilla $\mathcal F$ se dice entonces que ser coherente, si es que finitely generado y si para cada subconjunto abierto $V\subset X$ y cada (no necesariamente surjective !) morfismos
$\mathcal O_{V}^N \to \mathcal F|V$, el kernel es también finitely generado . De nuevo, no noetherian hipótesis a la vista. Fin de la historia? No, en absoluto! El problema es que la coherencia es muy difícil de comprobar, en general y, de hecho para algunos regímenes, incluso afín, la estructura de la gavilla $O_X$ es no coherente, y en ese triste caso, el concepto coherente es esencialmente inútil . En particular, y este uno de sus preguntas, la equivalencia de las categorías mencionadas en el Corolario (5.5) es FALSO sin el noetherian hipótesis.
Sin embargo, todos los problemas se evaporan si se supone que $X$ es localmente noetherian. A continuación, tiene la maravillosa equivalencia (lo que implica, por supuesto, que la estructura de la gavilla $O_X$ es coherente)
$$\mathcal F \;\text {coherent} \stackrel {X \text {loc.noeth.}}{\iff} \mathcal F \; \text {finitely generated and quasi-coherent }$$
Editar me han tratado de evadir el tema, pero desde que Li pide explícitamente: Sí, Hartshorne la definición es incorrecta. Aquí es a lo que me refiero.
La noción coherente de gavilla fue introducido por Henri Cartan en la teoría de holomorphic funciones de varias varables alrededor de 1944. En 1946 Oka demostrado que $\mathcal O_{\mathbb C^n}$ es coherente, y esto es muy difícil teorema, no todos los de Cartan's definición, la que yo he reproducido más arriba.
En 1955, como es bien sabido, Serre introducido coherente gavillas en la Geometría Algebraica, en su famoso artículo Faisceaux Algébriques Cohérents y utilizado la misma definición de la misma como Cartan, como reconoce en su Introducción.
Coherente con poleas fueron definidos en EGA para planes y rodeada de espacios, siempre con Cartan de la definición anterior. Lo mismo para la generalización de la analítica de espacios (con nilpotents) introducido por la Grauert (influenciado por Grothendieck) alrededor de 1960. Y esa definición es también el que se utiliza en De Jong y colaboradores de la reciente monumental en línea Pilas Proyecto.
Así que la definición que he reproducido más arriba es la adoptada por los fundadores y en los documentos fundacionales. Para cambiar esto sería, en mi opinión, muy engañosa y podría, por ejemplo, inducir a creer que muy profundos teoremas son triviales. O peor, inducir a errores de manera inapropiada la aplicación de los resultados a partir de los textos mediante la definición estándar de "coherente gavilla".
Por cierto, Mumford muy elegante resuelve la definición del problema: él sólo define "coherente" en el noetherian caso, ya que él sólo utiliza la noción en ese caso!
