¿Por qué estas dos funciones son iguales?

Question

Estas funciones son iguales. Pero no entiendo por qué.

$$a \leftrightarrow f(x) =|\cos(2\pi x)|^2$$

$$b \leftrightarrow f(x) = \dfrac{\cos(4\pi x)}{2} + 0.5$$

Que resulta tanto en este terreno:

Answer 1

Ellos son los mismos, ya $$|\cos(x)|^2=\cos^2(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}=\frac{\cos(2x)}{2}+\frac{1}{2}.$$ (Tenga en cuenta que el valor absoluto de no hacer nada, porque de la plaza; es decir, $x^2=|x|^2$ cualquier $x$.) Vea aquí. Esto puede ser derivada de la siguiente manera:

Para cualquier $x$$y$, tenemos $$\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y).$$ Por lo tanto, $$\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)$$ $$\cos(2x)=\cos^2(x)-(1-\cos^2(x))$$ $$\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$$ y por lo tanto $$\cos^2(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}$$

Aquí hay otro, más una derivación directa, utilizando complejo exponencial de la definición de coseno: $$\cos^2(x)=\left(\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right)^2=\frac{(e^{ix})^2+2(e^{ix})(e^{-ix})+(e^{-ix})^2}{4}=$$ $$\frac{e^{i(2x)}+e^{-i(2x)}+2}{4}=\frac{\cos(2x)+1}{2}$$