Imágenes en una secuencia exacta corta

Question

Supongamos que

$$0\V\W\ \ X\0\\ \downarrow\quad\quad\downarrow\quad\quad\downarrow\\ 0\a V'\W'\X'\0\\ $$

es un diagrama conmutativo de espacios vectoriales, con las filas superior e inferior corto exacta de las secuencias. Cuando es cierto que tengo una secuencia exacta $$0\im(V\V')\im(W\W')\im(X\X')\a 0?$$ Creo que me llega de la serpiente lema que esto ocurre si y sólo si la conexión de morfismos de la serpiente lema es la trivial mapa, pero no me siento particularmente confiado en mi respuesta, o tal vez hay algo más simple.

Answer 1

Nos deja denotar la vertical de mapas de $f,g,h$, y las horizontales por $i,p$ resp. $i',p'$. Entonces uno se comprueba directamente que $im(f) \to im(g)$ es mono (desde $i'$) y que $im(g) \to im(h)$ es epi (desde $p$ es). Además, es claro que tenemos un complejo. Por lo tanto, la secuencia es exacta si el núcleo de $im(g) \to im(h)$ está contenida en la imagen de $im(f) \to im(g)$. El núcleo es igual a $im(g) \cap im(i')$, y la imagen es igual a $im(gi)=im(i'f)$. Una condición suficiente para que la igualdad es que el $f$ es epi (claro), sino $h$ mono también basta: Si $w' \in im(g) \cap im(i')$, escribir $w' = g(w)$,$0=p'(w')=h(p(w))$, por lo tanto $0=p(w)$, es decir,$w \in im(i)$$w' \in im(gi)$.

Edit. Su conjetura es correcta. Recordemos que la conexión homomorphism $\delta : ker(h) \to coker(f)$ se define de la siguiente manera: Si $x \in ker(h)$, escribir $x=p(w)$,$p'(g(w))=h(x)=0$, por lo tanto, podemos escribir la $g(w)=i'(v')$, e $\delta(x):=[v']$.

Por lo tanto, $\delta$ es trivial iff para cada $w \in W$ hemos: Si $p'(g(w))=0$, $g(w)=i'(f(v))$ algunos $v$. En otras palabras, $im(g) \cap im(i')$ es igual a $im(i'f)$, lo que significa que la exactitud como se explicó anteriormente.