% Polinomio mínimo $\mu_A(x)$

Question

Tengo una matriz de $A=\begin{bmatrix}1&3&0\\1&-1&0\\0&-2&1\end{bmatrix}$. El polinomio característico, $\chi_A(x)=0=\det(\lambda{I}-A)$, por lo que $$\det{(\lambda{I}-A)}=(\lambda-1)[(\lambda^2-1)-3]=(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda+2)=\lambda^3-\lambda^2-4\lambda+4$$ Por lo que el polinomio mínimo, $\mu_A(x)$ debe ser un producto de factores lineales de $\chi_A(x)$, por lo que mis candidatos son $$x-1,x-2,x+2,x^2+x-2,x^2-3x+2,x^2-4, \chi_A(x)$$ Calcular, $A^2=\begin{bmatrix}4&0&0\\0&4&0\\-2&0&1\end{bmatrix}$.

Claramente, ninguno de los lineales de los factores puede ser $\mu_A(x)$. Desde $A^2\neq 4I$, no puede ser $x^2-4.$ Que deja a $\chi_A(x)$, o los dos restantes cuadráticas. Pero por mi cálculo, ni el trabajo. Que deja a $\chi_A(x)=\mu_A(x)$. Es allí una manera de descubrir este hecho, no sólo se ejecuta a través de todo el polinomio operadores? O ¿me equivoco y es uno de los cuadráticas en realidad $\mu_A(x)$?

Answer 1

Sugerencia: en este caso el polinomio característico consiste solamente en factores lineares distintos, y cada factor lineal del polinomio característico debe ser un factor del polinomio mínimo (ah, lo dio lejos)

Answer 2

Aquí una forma más rápida: utilizar el hecho de que $A$ $3$ distintos autovalores. Desde $\mu_A(x)$ es un polinomio tal que $\mu_A(A) = 0$, debemos tener $\mu_A(\lambda) = 0$ para cualquier autovalor $\lambda$$A$; esto se deduce del hecho de que $Av = \lambda v$ $v \ne 0$ implica que el $q(A)v = q(\lambda) v$ para cualquier polinomio $q(x)$. Puesto que hay tres autovalores distintos, se deduce que el $\deg \mu_A(x) \ge 3$. Pero entonces debemos tener $\mu_A(x) = \chi_A(x)$, ya que el $\chi_A(A) = 0$$\deg \chi_A(x) = 3$.

Nota: creo que vale la pena señalar que este resultado se generaliza a la dimensión arbitraria $n$ y también tiene más de cualquier campo, al menos en el caso de que el número de los distintos autovalores de a$A$$n$. Final de la Nota.

Espero que esto ayude. ¡Hasta la vista,

y como siempre,

Fiat Lux!!!