La respuesta corta es que sus generadores son correctos. Todavía no sé muy bien cómo dibujar imágenes en este sitio (¡es mi primer post!), así que intentaré explicarlo sólo con palabras. Tal vez puedas hacer tus propios dibujos. Mis disculpas si esto es muy largo, pero estoy tratando de proporcionarle la descripción práctica que busca.
Primero, pensemos en un género $g$ -superficie, que imaginamos como un $2g$ -gon con aristas etiquetadas cíclicamente $a_1, b_1, a_1^{-1}, b_1^{-1},\dots, a_g, b_g, a_g^{-1}, b_g^{-1}$ . Todo esto significa que podemos utilizar este etiquetado para pegar los bordes del $2g$ -gon para obtener nuestro género $g$ -superficie. Asumiré que sabes cómo obtener la homología de esta superficie cerrada, y que sabes que es el rango $2g$ grupo abeliano libre generado por $a_1,b_1,\dots,a_g,b_g$ .
¿Qué ocurre con esta imagen si añadimos un único componente de frontera? Para ello, podemos eliminar un pequeño disco abierto $D_1$ del interior de nuestra etiqueta $2g$ -gon para obtener una superficie $\Sigma_{g,1},$ donde $\partial\Sigma_{g,1}=\partial D_1=:B_1\simeq S^1$ . Resulta que y como usted bien sabe, en este caso para $b=1$ la primera homología no cambia; es decir, $H_1(\Sigma_{g,0})=H_1(\Sigma_{g,1})$ y sus generadores son los mismos. Veamos por qué.
Tenga en cuenta que nuestro $2g$ -Gono con una deformación eliminada del disco se retrae a los bordes etiquetados del polígono. Como no pasa nada raro en las aristas (es decir, el repliegue de la deformación es la identidad aquí), podemos empujar este repliegue de la deformación hacia el espacio cociente pegado. Así, obtenemos una deformación retraída $r$ de $\Sigma_{g,1}$ a una cuña de $2g$ círculos $\bigvee_{i=1}^{2g}S^1$ . Como una deformación retraída es una equivalencia de homotopía tenemos otro mapa $$i:\bigvee_{i=1}^{2g}S^1\rightarrow\Sigma_{g,1}$$ tal que $$i\circ r\simeq\mathbb{1}_{\Sigma_{g,1}} \text{and} r\circ i\simeq\mathbb{1}_{\bigvee_{i=1}^{2g}S^1}.$$ De hecho, si identificamos $\bigvee_{i=1}^{2g}S^1$ con la imagen de nuestra superficie después de la retracción de la deformación, podemos tomar $i$ sea el mapa de inclusión, en cuyo caso sabemos que los generadores de $H_1(\bigvee_{i=1}^{2g}S^1)$ son precisamente los generadores de $H_1(\Sigma_{g,1}),$ a saber: $a_1,\dots,b_g.$
Tratando de generalizar este enfoque de retracción de la deformación a $b>1$ es un poco difícil, así que primero lo explicaré de forma intuitiva. Empezamos con nuestra etiqueta $2g$ -gon y dibujar $b$ círculos en el interior. Empieza a inflar uno de los círculos como si fuera un globo, sin dejar que se cruce. Vemos que lo más lejos que puede llegar el globo es a cubrir completamente las aristas del polígono y el $b-1$ otros componentes del límite, introduciendo en el proceso algunas aristas nuevas entre los componentes del límite y las aristas del polígono. Por supuesto, como antes, no pasa nada raro en los bordes del polígono, así que realmente estamos haciendo todo esto en la superficie pegada. La imagen resultante del globo--o (dejando de lado la analogía) la imagen de nuestra superficie después de la retracción de la deformación--es ahora un gráfico con aristas dadas por $a_1,b_1,\dots,a_g,b_g$ y el $b-1$ componentes de los límites que no hemos movido, así como las nuevas aristas que hemos introducido al inflar nuestro globo. Sin embargo, con algo de imaginación podemos convencernos de que las nuevas aristas que introdujimos no añaden nuevos ciclos porque no permitimos que nuestro globo se atravesara a sí mismo. Así, podemos retraer por deformación todas las aristas nuevas que introdujimos para obtener una cuña de $2g+b-1$ círculos.
Todo esto se puede hacer riguroso mostrando que podemos considerar que nuestra superficie con límite se obtiene pegando un disco con un agujero a un gráfico con $2g+b-1$ En esencia, trabajamos hacia atrás a partir de la intuición que construimos en el párrafo anterior.
Para que la imagen sea completa (¡sin llegar a serlo!) he aquí cómo me imagino haciendo esto. Comience, como siempre, con la etiqueta $2g$ -gon y dibujar $b-1$ círculos $c_1,\dots,c_{b-1}$ en su interior, alineándolos bien de izquierda a derecha de forma bien ordenada. Ahora dibuja un borde desde $c_i$ a $c_{i+1}$ para $1\leq i\leq b-2$ Asegúrate de no cruzar ninguna de las aristas (¡sería una tontería!). Dibuja una última arista desde $c_{b-1}$ al vértice más cercano del polígono, asegurándose de nuevo de no añadir ningún cruce. Ahora tenemos ante nosotros un grafo conexo, cuyo complemento en el polígono preencolado es un disco. Después de pegar según el etiquetado de las aristas, obtenemos una superficie con frontera con un grafo dibujado en ella tal que el complemento del grafo es un disco. Así, si introducimos un $b^{\rm th}$ componente de frontera, tenemos que eliminar un disco más pequeño del interior de este disco, lo que nos permite construir una deformación retraída de nuestra superficie con $b$ componentes de frontera al gráfico que dibujamos antes (es decir, el gráfico que nos dice cómo pegar el disco perforado). Ahora podemos utilizar el mismo argumento para el $b=1$ caso para demostrar que sus generadores son correctos.
La lección es que si bien podemos generar $H_1$ de nuestra superficie por todos los $2g$ generadores de latitud/longitud $a_1,b_1,\dots,a_g,b_g$ y todos los $b$ curvas de contorno $B_1,\dots,B_b$ El repliegue de la deformación muestra que (suponiendo orientaciones adecuadas o trabajando sobre $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ ) siempre podemos identificar, por ejemplo $B_b$ con una suma de todos los demás componentes de la frontera.
