¿Qué hay de malo con esto una prueba de que conmutatividad está implícita en el otro campo axiomas?

Question

Me parece haber encontrado una prueba de que la conmutatividad de la $+$ sigue desde el otro campo axiomas. Es como sigue:

Deje $(k,+,\cdot)$ ser una estructura de la satisfacción en el campo axiomas excepto conmutatividad de la suma, con $a,b\in k$. Entonces

1) $(a + b)\in k$ $(b+a)\in k$ (cierre de la adición)

2) $-(a+b)\in k$ $-(b+a)\in k$ (invertible adición)

3) $(a+b) + [-(b+a)] =(a+b) + (-b) + (-a)$ (distributividad de $\cdot$$+$)

4) $(a+b) + (-b) + (-a) = a + (b + (-b)) + (-a)$ (asociatividad de $+$)

5) $a + (b + (-b)) + (-a) = a + 0 + (-a) = a + (-a)$ (invertibility y la identidad de $+$)

6) $(a + b) + [-(b+a)] = 0$ (identidad de $+$)

7) $(a+b) = (b+a)$ (invertibility de $+$) $\,\square$

Pero conmutatividad es un campo axioma, por lo que debe ser necesario. Dado que, lo que está mal con esta prueba? Puede que la conclusión final (7) no se pueden extraer sin conmutatividad?

Answer 1

Ya que estamos hablando de los Campos de aquí y los de campo axiomas son una extensión de los axiomas de anillo (un campo puede ser definido como un anillo conmutativo con $1$), estás en lo correcto para ver la redundancia.
Sin embargo, desde el campo axiomas se construyen a partir de axiomas de anillo y en los anillos de la propiedad no es redundante, se justifica para mantener esta redundancia. La parte esencial del campo de axiomas que genera la redundancia es que $1\in F$ (el campo tiene una identidad multiplicativa) y es un anillo.

Sin este establecimiento $-(b+a)$ (el inverso aditivo de a $b+a$) no está garantizado a ser $-1 \cdot (b+a)$ desde $-1$ puede incluso no existir. En su lugar, $-(b+a) = (-a)+(-b)$ porque $b+a+(-a)+(-b)=0$.

Podemos demostrar que para un Anillo de tener conmutativa de la adición basta con que se tiene un $1$:

$$\begin{align*} a+a+b+b & = (1+1)\cdot a+(1+1)\cdot b & \text{left-distributivity}; 1\cdot a = a \\ & = (1+1)\cdot(a+b) & \text{right-distributivity}\\ &= 1\cdot(a+b) + 1\cdot(a+b) & \text{left-distributivity}\\ & = a+b+a+b &\text{right-distributivity} \\ \Rightarrow a+b&=b+a & \text{cancellation} \end{align*}$$ Prueba tomada de aquí.
Ahora bien, aunque la propiedad es redundante para los campos, no es en el contexto de un anillo conmutativo, entonces, es una buena idea para mantener a todos los (no redundante) anillo de los axiomas de coherencia, ya que cada campo es un anillo.

Answer 2

Sí, conmutatividad de la adición es una consecuencia lógica de la otra de campo axiomas. Nada de malo con ser un poco redundante.

La falta lema para la prueba:

Deje $x \in k$. Entonces

$$0 = 0 \cdot x = (1 + (-1))\cdot x = 1 \cdot x + (-1) \cdot x = x + (-1)\cdot x$$

Del mismo modo,

$$0 = 0 \cdot x = (-1 + 1)\cdot x = (-1) \cdot x + 1 \cdot x = (-1)\cdot x + x$$

Por lo $(-1)\cdot x$ es el inverso aditivo de a $x$,

$$-x = (-1) \cdot x$$