Densidad de los operadores de Fredholm

Question

Que $X$ ser un espacio de Banach. Es bien sabido que un operador $T\in B(X)$ es Fredholm si y sólo si es inversible en el clavo álgebra $\pi(T)$ $B(X)/K(X)$.

Ahora Supongamos que los elementos inversible en $B(X)/K(X)$ son densos. ¿Podemos concluir que los operadores de Fredholm son densos en $B(X)$?

Tenga en cuenta que existen espacios para que cada operador $T\in B(X)$ Fredholm con índice 0.

Answer 1

Sí, si el invertible elementos en $B(X)/K(X)$ son densos, a continuación, los operadores de Fredholm son densos.

Deje $x \in B(X)$ y considerar la posibilidad de $\pi(x) \in B(X)/K(X)$. Por la densidad de la invertible elementos $I$$B(X)/K(X)$, existe una (de Cauchy) secuencia $y_n \in I$ tal que $y_n \rightarrow \pi(x)$$n \rightarrow \infty$. Usando un argumento similar a la que muestra que el cociente de un espacio de Banach por un subespacio cerrado es una de Banach, se puede obtener una secuencia de Cauchy $x_n \in B(X)$ tal que $\pi(x_n) = y_n$. Tenga en cuenta que el $x_n \in B(X)$ son Fredholm desde $\pi(x_n) \in I$. La integridad de la $B(X)$ implica entonces que $x_n$ converge a algunos $x_\infty \in B(X)$ cual debe satisfacer $\pi(x_\infty) = \pi(x)$. Por lo tanto, existe algún operador de Fredholm $k \in K(X)$ tal que $x_\infty + k =x$. De ello se desprende que la secuencia de $x_n + k$ es una secuencia de operadores de Fredholm que converge a $x$.

Tenga en cuenta que esta prueba no uso nada especial acerca de los operadores de Fredholm, sino sigue simplemente de las propiedades de los espacios de Banach y de sus cocientes.

También, a la inversa de la declaración es fácil de mostrar.