$f(x)=1/(1+x^2)$. Los polinomios de Lagrange no siempre convergen. ¿por qué?

Question

Que $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$. Error de la interpolación con polinomios de Lagrange para $n+1$ puntos es dado por $$ e(x)=f(x)-P_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\eta_x)}{(n+1)!} \prod_{i=0}^n (x-x_i) $$

Carl Runge dijo que este $f$, Lagrange % polinomio $P_n$no convergen uniformemente. ¿Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Aquí está una primaria prueba de que equispaced los polinomios de Lagrange en $[-a,a]$ no convergen en $b$ $a=5$ $b=4$ (y muchos otros valores). Suponemos un número impar de nodos $2n+1$, por lo que los nodos están en$ak/n$$-n \leq k \leq n$; un número de nodos es similar, pero notationally un poco más feo. Deje $p(x)$ ser el de la interpolación de Lagrange polinomio. Deje $q(x) = \prod_{k=-n}^n (x-ak/n)$, el monic polinomio de fuga en los nodos.

Por lo $p(x)(x^2+1)-1$ se desvanece en los nodos, y por lo tanto tenemos $$p(x) (x^2+1)-1 = q(x) r(x) \quad (\ast)$$ para algunos polinomio $r(x)$. El polinomio $p$ tiene el grado $\leq 2n$ $q$ tiene el grado $2n+1$, lo $\deg r \leq 1$. También, tenga en cuenta que $p(x)$ es incluso un polinomio (que se obtiene mediante la interpolación de una función par en simétricamente colocados en puntos) y $q(x)$ es una extraña polinomio (de la raíz a las $0$, y todas las otras raíces espejo simétrico) lo $r$ es impar. Por lo tanto, $r(x) = c x$ para algunas constantes $c$.

Podemos calcular $c$ conectando $x=i$. (Si me estaban enseñando esto a los estudiantes que el miedo a los números complejos, yo podría escribir primero $p(x) = f(x^2)$, $q(x) = x g(x^2)$, set $y=x^2$ y el enchufe de la $y=-1$. Pero aquí vamos a ser valiente!) $$p(i) \cdot 0 -1 = (c i) \prod_{k=-n}^n (i-ak/n) = (ci) \cdot i \cdot \prod_{k=1}^n (i^2 - a^2 k^2/n^2)$$ $$c =\frac{(-1)^n}{\prod_{k=1}^n (1+a^2 k^2/n^2)}.$$

Reordenando la ecuación de $(\ast)$ da una fórmula exacta para el error: $$p(x) - \frac{1}{1+x^2} = \frac{c x q(x)}{1+x^2} = \frac{(-1)^n x^2 \prod_{k=1}^n (x^2-a^2 k^2/n^2)}{(1+x^2) \prod_{k=1}^n (1+a^2 k^2/n^2)}.$$

Vemos que el error tiende a cero si y sólo si $$\lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^n \log {\Large |} x^2 - a^2 k^2/n^2 {\Large |} - \sum_{k=1}^n \log ( 1+a^2 k^2/n^2 ) \right) = - \infty.$$

Las sumas que se parecen a las sumas de Riemann con espaciado $a/n$, por lo que la cantidad en la que el límite es de aproximadamente $$\frac{n}{a} \cdot \left( \int_{t=-a}^a \log| x^2 - t^2| dt - \int_{t=-a}^a \log( 1+ t^2) dt \right).$$ Más precisamente, podemos justificar el giro de sumas en las integrales como largo como $x$ no está demasiado cerca de uno de los nodos: Por ejemplo, si tenemos una secuencia de puntos de $x_n$ aproxima $x \in [-a,a]$, $x_n$ siempre a mitad de camino entre dos nodos, esto es válido.

Así que el límite será de $\pm \infty$, según el signo de $$\int_{t=-a}^a \log |x^2 - t^2| dt - \int_{t=-a}^a \log (1+t^2) dt.$$ Las integrales se puede hacer en forma cerrada, pero yo voy a cerrar por sólo el trazado de la gráfica de $a=5$:

Como se puede ver, la curva cruza el eje en torno al $3.8$, que es exactamente donde los polinomios de Lagrange dejar de convergencia.

Answer 2

Cualquier libro de texto responde a esta pregunta haciendo referencia a los métodos de Runge del trabajo, que es de fecha, y no se traduce en inglés.

No es cierto. El libro de texto de análisis Numérico por Kinkaid y Cheney se refiere el artículo Sobre el método de Runge ejemplo por James F. Epperson, publicado en: American Mathematical Monthly Volumen 94 número 4, abril de 1987, páginas 329-341.

Como la longitud del artículo sugiere, tratamiento detallado es un poco demasiado largo para reproducir aquí. Además, el artículo está libremente disponible de la MAA sitio web. (MAA publica la revista, así que estoy asumiendo que este es una copia legítima.)

Como para la pregunta original:

Carl Runge dijo que para este $f$, Lagrange polinomio $P_n$ no convergen uniformemente.

Esto es bastante vago. Los polinomios de Lagrange hacer converger si los nodos están bien elegidos. También, incluso con nodos equidistantes convergen cuando el intervalo de interpolación no es demasiado grande. Si quería hablar de un intervalo determinado y un conjunto de nodos, se debe incluir en la pregunta. Pero leer el artículo mencionado en primer lugar.