Sea $P,Q\in\mathbb Q[X]$ polinomios relativamente privilegiados ($X$ ser un indeterminado). Asumir que $Q(0)=1$ y es que el $P/Q$ $\mathbb Z[[X]]$.
¿Esto implica que el % son $P$y $Q$ $\mathbb Z[X]$?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Esta es una sencilla consecuencia de Fatou del Lema racional de energía de la serie. Aquí está una declaración y prueba de R. P. Stanley Combinatoria Enumerativa, yo (o p. 629 de la versión gratuita aquí)
codemac
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689
Este es un menor de edad complemento del proyecto de Ley de respuesta.
La respuesta a la pregunta es sí. Como se indica por el proyecto de Ley, este se sigue inmediatamente de la siguiente declaración, conocida como Fatou el Lema:
(1) Si $f\in\mathbb Q[[x]]$ tiene coeficientes enteros, entonces no se $P,Q$ $\mathbb Z[x]$ tal que $f=P/Q$, $(P,Q)=1$ en $\mathbb Q[x]$, e $Q(0)=1$.
Comenzamos citando a Stanley:
Definir un poder formal de la serie de $\sum_{n\ge0}a_nx^n$ con coeficientes enteros para ser primitivo, si no entero $d > 1$ divide las $a_i$. Uno fácilmente se demuestra que el producto de la primitiva de la serie es primitivo.
Reclamamos:
(2) Las siguientes condiciones en un polinomio primitivo $Q\in\mathbb Z[x]$ son equivalentes:
(a) $Q(0)=\pm1$,
(b) $1/Q\in\mathbb Z[[x]]$,
(c) $Qg=m$ algunos $g$ $\mathbb Z[[x]]$ y algunos entero positivo $m$.
Es claro que (a) y (b) son equivalentes y que implica (c). Suponiendo (c) y la escritura $g=dh$ donde $d$ es un entero positivo y $h$ un elemento primitivo de $\mathbb Z[[x]]$, obtenemos $Qh=m/d$. Como $Q$ $h$ son primitivas, este rendimientos $m=d$, y por lo tanto (b). Esto prueba (2).
Vamos a demostrar (1).
Tenemos $f=P/Q$ para algunos polinomios $P,Q$ $\mathbb Z[x]$ tal que $(P,Q)=1$ $\mathbb Q[x]$ y ningún número primo que divide a cada coeficiente de $P$$Q$. La igualdad de $Qf=P$, que tiene en $\mathbb Z[[x]]$, muestra que $Q$ es primitivo. En vista de (2), es suficiente para demostrar (c). Existen polinomios $A,B$ $\mathbb Z[x]$ y un entero positivo $m$ tal que $AP+BQ=m$. A continuación, (c) tiene por $g:=Af+B$.
