Disociación de la álgebra de la topología en homología celular

Question

La historia de homología singular es bastante sencillo. Se comienza por la construcción de la singular complejo de cadena functor $S : \mathbf{Top} \to \mathbf{Cha}$ (categoría de complejos de la cadena con la cadena de mapas). Tomando homología es entonces puramente operación algebraica sucediendo en $\mathbf{Cha}$. La topológico contenido de la teoría está codificado en las propiedades de $S$. Aquí están algunas preguntas acerca de este punto de vista:

• No S conmuta con homotopy colimits?
• Puede el Eilenberg–Steenrod axiomas ser traducido a las condiciones en el functor $S$?

La situación con el celular de homología parece más complicado. Considerar la subcategoría $\mathbf{CW}$ de filtrado señaló CW complejos con la filtración de la preservación de los mapas. Puede ser realizado con la categoría cuyos objetos son acsending secuencias de los esqueletos ($X^{-1} \to X^0\to X^1 \to \dots$) donde $X^{-1}$ es un punto correspondiente al punto de referencia del complejo y cuyas flechas son colecciones de mapas para cada valor distinto de cero esqueleto ( $f_n:X^n \to Y^{n}$ ).t. el correspondiente diagrama de desplazamientos.

Hasta ahora todas las construcciones para celular de homología he visto se basan en ad hoc construcciones a través de diagrama persiguiendo a nivel de homología de grupos. Es particularmente crudo cuando llega el momento de definir una adecuada límite operador $\partial :H_{n+1}(X^{n+1},X^n) \to H_n(X^n,X^{n-1})$ . Punto en el que hay una inevitable paréntesis en (obviamente no canónica) ad hoc diagrama persiguiendo, "secuencia exacta de triples" y algunos más algebraicas lío.

Hago la esencia de todo. El hecho de que la característica de los mapas darle mapas entre las cuñas de las esferas en cada nivel de la filtración y que estas mapa de inducir a sus mapas en la parte superior de homología es por eso que el título viene. Pero estoy tratando de conseguir una simple formal de la imagen de lo que está sucediendo y que se pone bastante desalentador.

Hay una construcción análoga a la anterior construcción para el singular caso de que utiliza una cantidad mínima de álgebra homológica y define un functor $W: \mathbf{CW} \to \mathbf{Cha}$ que se lleva a $CW$ complejos a los complejos de la cadena, que luego pueden ser manipulados de manera algebraica para obtener la homologically equivalente celulares complejos de la cadena

$$\dots \to H_n(X_n,X_{n-1}) \to H_{n-1}(X_{n-1},X_{n-2}) \to \dots $$

Y que una vez wev e pasado a $\mathbf{Cha}$ esta "manipulación" implica sólo el álgebra homológica?

O tal vez esta es la pregunta equivocada por completo y algo más sutil que está sucediendo debajo de la superficie? Algún paso intermedio que impide un "desconectados" de la descripción?

¿Tengo que entender generales espectral de secuencias de filtrado espacios para conseguir realmente el general de no ad-hoc enfoque a esto?

Answer 1

Q1. Moralmente sí. Usted debe pensar en singular cadenas como describir, vagamente, el "complejo de cadena" en un espacio. En invariantes de idioma no es un $\infty$-categoría de los espacios de $\text{Space}$ e una $\infty$categoría $\text{Ch}(\mathbb{Z})$ presentado por los complejos de la cadena de abelian grupos (un nombre para esto es el $\infty$-categoría de "$H\mathbb{Z}$-módulo de espectros," pero usted no necesita saber esto). También hay un olvidadizo functor

$$\text{Ch}(\mathbb{Z}) \to \text{Space}$$

y un invariante de la versión de singular cadenas le da a su izquierda adjoint (en el $\infty$-categórica sentido). Toda la izquierda adjunto conserva homotopy colimits.

Q2. El Eilenberg-Steenrod axiomas para la homología singular puede ser reformulada como diciendo que singular cadenas, como un $\infty$-functor $\text{Space} \to \text{Ch}(\mathbb{Z})$, está determinado por el hecho de que conserva homotopy colimits y toma el valor de $\mathbb{Z}$ en el de un punto del espacio. Esta es la descripción de una característica universal de $\text{Space}$ $\infty$- categoría: es la libre homotopy cocomplete $\infty$-categoría en un punto, de la misma manera que $\text{Set}$ es el libre cocomplete categoría en un punto.

El Eilenberg-Steenrod axiomas extraordinario para la homología de las teorías funcionan de la misma manera, pero el destino $\infty$-categoría tiene que ser modificado para que sea espectros.

Q3. El invariante de contenido de la CW complejos es que ellos describen espacios mediante la construcción de hasta el uso reiterado homotopy cofibers. Cuando pase este hecho a través de singular cadenas, consigue que se pueden describir singular cadenas en un CW complejo tomando reiteró la asignación de los conos. Al hacer esto usted debe obtener más o menos el celular compleja, aunque no he comprobado los datos.

Answer 2

las respuestas a las primeras preguntas es no - singular complejo de cualquier tipo de homotopy colimit implica singular simplices que no respete cualquiera de la estructura de su favorit homotopy colimit de la construcción. Así, el complejo resultante será mucho más grande que el homotopy colimit de la singular complejos de la cadena.

Respecto a la segunda cuestión, me gustaría ver esto de manera diferente. El singular complejo simplicial $S(X)$ tiene una realización geométrica $|S(X)|$. Este es un CW complejo (lo siento) que viene con un natural mapa de $p\colon |S(X)|\to X$. Por un teorema de Milnor, este mapa es un débil equivalencia (que induce isos en todos los homotopy grupos $\pi_k$). Si usted está dispuesto a añadir un "invariancia bajo débil equivalencias" axioma de la Eilenberg-Steenrod axiomas, que nos dice que el $p_*\colon H_*(|S(X)|)\to H_*(X)$ es un isomorfismo (de manera similar para cohomology). Ahora, la (co) homología de CW complejos está determinado por el clásico de Eilenberg-Steenrod axiomas, si se agrega un "axioma de aditividad", que dice que la (co) homología de una cuña de las esferas es la suma directa de (producto) de su (co) homología. Si se aplica a la construcción de la telefonía celular de la (co) homología a $S(X)$, se obtiene el singular (co) de la cadena de complejos y llegar a las conocidas fórmulas para simplicial singular (co) homología.

Para resumir: Si usted asume que su favorito de la (co) homología de la teoría satisface la clásica de Eilenberg-Steenrod axiomas, y aditividad, y la invariancia bajo débil equivalencias, luego esta la (co) homología es naturalmente isomorfo al singular (co) homología.

Si no te gusta el libro de texto enfoque para celulares (co) homología, entonces usted debe al menos tratar de entender que la construcción le da un natural isomorfismo entre "su" (co) homología de un CW complejo, y el celular. En particular, todo el diagrama de perseguir, ad hoc, a pesar de que pueda parecer, es completamente natural en el sentido técnico.

Si usted desea aprender espectral de secuencias, puede intentar calcular otros, la generalización del cohomology teorías (como $K$-teoría) para CW complejos. Sin embargo, hay algunos problemas técnicos con las espectral de las secuencias que le impiden obtener una descripción completa. Debido a la dimensión axioma, el espectro de la secuencia de cálculos convertido en mucho más fácil para el común de la (co) homología, y que te den una respuesta completa. Si usted va a través de ellos, se llega exactamente a los diagramas de que usted sabe y amor (pero usted sabrá por qué ellos se ven de la manera que lo hacen).

Answer 3

Esto es algún tipo de respuesta a su pregunta: ¿tengo que entender generales espectral de secuencias de filtrado espacios para conseguir realmente el general de no ad-hoc enfoque a esto?

Un contexto general de esta área está dada en el libro titulado Nonabelian topología algebraica:filtrada espacios, cruzó complejos, cúbica homotopy groupoids (EMS Extensiones vol 15, 2011) (archivo pdf). Espectral de secuencias no se presentan en el libro. Sin embargo (estricto) de colimit argumentos son usados extensivamente, hecho posible por una Mayor Homotopy Seifert-van Kampen Teorema (HHSvKT) para un homotopically definido functor $\Pi: FTop \to Crs$ a partir de la categoría de filtrado espacios a la de los "cruzados complejos", una especie de generalización de los complejos de la cadena de abelian grupos. Esta idea se remonta a Blakers (1948) y J. H. C. Whitehead (1949), "Combinatoria Homotopy II". Un Corolario inmediato de la HHSvKT es que para un CW-filtración, $X_*$, $\Pi X_*$ es libre en la característica de los mapas de las células. Otro Corolario es una versión de la Relativa Hurewicz Teorema, describiendo $\pi_n(X \cup CA, x), n \geqslant 2$, cuando se $(X,A,x)$ $(n-1)$- conectado, sin el uso de homología singular. También hay nonabelian cálculos de segunda relativa homotopy grupos.

Sin embargo, las pruebas de uso extensamente cúbica superior homotopy groupoids de filtrado espacios; estos son estrictas mayor groupoids, y cúbica métodos son esenciales para las pruebas, ya que permiten "algebraica inversos a la subdivisión".

Hay interesantes relaciones entre cruzó complejos y complejos de la cadena con un grupo(oid) de los operadores, que permiten a las relaciones con los celulares complejos de la cadena de universal cubre. El libro da una cierta relación con la historia y se da cuenta de las intuiciones; no es más de fondo en las presentaciones en mi preprint página.

Una parte clave de este trabajo no es tan nuevo, y se remonta a dos documentos por Felipe Higgins y a mí, en la JPAA, 1981.