El recurrente decimal $0.\overline{a_1\ldots a_n}$ es igual a
$$\frac{a_1\cdots a_n}{10^n-1}.$$
E. g., $x=0.\overline{285} = 0.285285285\cdots$, luego
$$x = \frac{285}{10^3-1} = \frac{285}{999}.$$
Es decir, se obtiene la porción periódica dividido por un número que se compone de tantos $9$s como la longitud de la porción periódica.
Hay muchas maneras de ver esto; uno de ellos es el uso de series geométricas. Otro es el uso de algún tipo de manipulación: si
$$x = 0.\overline{a_1\ldots a_n}$$
entonces
$$10^nx = a_1\ldots a_n . \overline{a_1\cdots a_n}$$
así
$$(10^n-1)x = 10^n x - x = a_1\cdots a_n.$$
El primer modelo de "solución" es el uso de este: desde $x = 0.\overline{6}$, $x = \frac{6}{9}$ (el período de duración $1$, por lo que se obtiene un $9$ en el denominador.
Cuando el periódico decimal no se inicia justo después del punto decimal, usted necesita para cambiar un poco primero. Así, por ejemplo, si usted tenía
$$ x = 0.1\overline{285} = 0.1285285285\ldots,$$
a continuación, en primer lugar tomamos $10 x = 1.\overline{285}$, a continuación, proceder como antes:
$$\begin{align*}
10^3(10 x) &= 1285.\overline{285}\\
10x &= 1.\overline{285}\\
10x(10^3-1) &= 1284\\
x(9990)&= 1284\\
x &= \frac{1284}{9990}.
\end{align*}$$
El segundo modelo de solución utiliza este método.
Añadido. Para el método de la serie, en caso de que alguien esté interesado, supongamos que $x$ es de la forma $x=0.\overline{a_1\cdots a_n}$. Esto significa que, explícitamente, que
$$ x = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{a_1\cdots a_n}{(10^n)^k} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{a_1\cdots a_n}{10^{nk}} = a_1\cdots a_n\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{10^{nk}}.$$
Esta es una serie geométrica, con plazo inicial $\frac{1}{10^{n}}$ y la razón común $\frac{1}{10^n}$, por lo que converge. Una serie geométrica con plazo inicial $a$ y la razón común $r$, $|r|\lt 1$, converge a
$$\frac{a}{1 - r},$$
así tenemos
$$\begin{align*}
x &= a_1\cdots a_n\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{10^{nk}} \\
&= a_1\cdots a_n\left(\frac{\frac{1}{10^n}}{1 - \frac{1}{10^n}} \right)\\
&= a_1\cdots a_n\left(\frac{\quad\frac{1}{10^n}\quad}{\quad\frac{10^n-1}{10^n}\quad}\right)\\
&= a_1\cdots a_n\left(\frac{1}{10^n-1}\right) = \frac{a_1\cdots a_n}{10^n-1}\\
&= \frac{a_1\cdots a_n}{\underbrace{9\cdots 9}_{n\text{ digits}}}.
\end{align*}$$
Y del mismo modo, si usted tiene que "cambiar" el decimal antes de llegar al período; sólo tiene que añadir una cantidad suficiente de $0$s al $9$s en el denominador en cuenta para el cambio.
