Demostrando differentiability

Question

Yo sólo tenía una pregunta sobre demostrando differentiability mostrando que el cociente de la diferencia existe. Entiendo que en el caso de una función como $f(x)=x^2$, donde terminan con $((x+h)^2 - x^2)/h = 2x + h = 2x$ como h va al infinito, pero en el caso de una función como $1/x^n$, ¿cómo dirección la parte "n" ya que no se puede expandir y dividir el $h$ en el denominador?

Answer 1

MÉTODO 1: FUERZA BRUTA USO DE LA DEFINICIÓN DE LA DERIVADA

Podemos, de hecho, el enfoque de este con fuerza bruta usando el binomio de expansión. Podemos escribir

$$(x+h)^n=x^n\left(1+n\frac hx+\frac{n(n-1)}{2!}\frac{h^2}{x^2}+\cdots+\frac{h^n}{x^n}\right)$$

Por lo tanto,

$$\begin{align} \frac{1}{(x+h)^n}-\frac{1}{x^n}&=\frac{1}{x^n}\left(\frac{1-\left(1+n\frac hx+\frac{n(n-1)}{2!}\frac{h^2}{x^2}+\cdots+\frac{h^n}{x^n}\right)}{\left(1+n\frac hx+\frac{n(n-1)}{2!}\frac{h^2}{x^2}+\cdots+\frac{h^n}{x^n}\right)}\right)\\\\ &=\frac{1}{x^n}\left(\frac{-\left(n\frac hx+\frac{n(n-1)}{2!}\frac{h^2}{x^2}+\cdots+\frac{h^n}{x^n}\right)}{\left(1+n\frac hx+\frac{n(n-1)}{2!}\frac{h^2}{x^2}+\cdots+\frac{h^n}{x^n}\right)}\right)\\\\ &=\frac{-\left(n\frac h{x^{n+1}}+\frac{n(n-1)}{2!}\frac{h^2}{x^{n+2}}+\cdots+\frac{h^n}{x^{2n}}\right)}{\left(1+n\frac hx+\frac{n(n-1)}{2!}\frac{h^2}{x^2}+\cdots+\frac{h^n}{x^n}\right)}\tag 1 \end{align}$$

Dividiendo $(1)$ $h$ y dejando $h\to 0$, obtenemos el resultado de la $-\frac{n}{x^{n+1}}$ como se esperaba.

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MÉTODO 2: USO DE LOS TEOREMAS DE

Teorema 1: El producto de la regla. $(fg)'=fg'+f'g$.

Teorema 2: El cociente de la regla. $(f/g)'=-fg'/g^2+f'/g$.

Teorema 3: La derivada de $x$$1$.

Utilizamos la inducción para demostrar que $(x^n)'=nx^{n-1}$, usando el Teorema de $2$ y el Teorema $3$.

Primero observar que el Teorema de $3$ constituye un caso base.

A continuación, se postula que para algunos $k$, $(x^k)'=kx^{k-1}$ y examinar $(x^{k+1})'$.

Tenga en cuenta que $(x^{k+1})'=(x\times x^{k})'$. Por el Teorema 2, el producto de la regla, tenemos $(x\times x^{k})'=x(x^k)'+x^k(x)'=x(kx^{k-1})+x^k=(k+1)x^k$.

Por lo tanto, por inducción, hemos demostrado que $(x^n)'=nx^{n-1}$.

A continuación, analizamos $(1/x^n)'$. Utilizando el Teorema 1 con $f=1$ $g=x^n$ rendimientos, $(1/x^n)'=-nx^{n-1}/x^{2n}+0=-n/x^{n+1}$ y hemos terminado!

Answer 2

Todavía podemos manipular la definición puramente algebraico: que $x \neq 0$; que $n \geq 1$; Tenga en cuenta que h$ ^ {-1} \left (\frac{1} {(x+h) ^ {n}}-\frac{1}{x^{n}} \right) = h ^ \left {-1} (\frac{x^{n} - (x + h) ^ {n}} {(x ^ {2} + hx) ^ {n}} \right) = \frac{-\sum_{k=0}^{n-1}x^{k}(x+h) ^ {n-1-k}} {(x ^ {2} + hx) ^ {n}} \to - nx ^ {- n - 1} $$ $h \to 0$.

Answer 3

Reescribir en la forma $$x^{\alpha}=e^{\alpha\ln(x)}$$ and the derivative is $% $ $e^{\alpha\ln(x)}\frac{\alpha}{x}=\alpha x^{\alpha-1}$