Puede $f(x+1) = f(x)^{\ln(x)}$ se puede expresar como transformada integral $\int g(x,t) dt $ ?

Question

Dejemos que $x$ sea un número real. ¿Puede alguna función analítica real $f$ que satisface para $x>3$ : $f(x+1) = f(x)^{\ln(x)}$ expresarse mediante funciones estándar como una transformada integral :

$$f(x) = \int_0^{\infty} g(x,t) \space dt $$

O tal vez $$f(x) = \int_0^{\infty} \int_0^{\infty} h(x,t,r) \space dt \space dr$$

¿Cómo de rápido es $f(x)$ ¿Crecer?

Answer 1

Dejemos que $f(x)=a^{g(x)}$ , donde $a\in\mathbb{R}^+$ y $a\neq1$ ,

Entonces $a^{g(x+1)}=(a^{g(x)})^{\ln(x)}$

$a^{g(x+1)}=a^{\ln(x)g(x)}$

$g(x+1)=\ln(x)g(x)$

$g(x)=\Theta(x)\prod\limits_x\ln(x)$ , donde $\Theta(x)$ es una función periódica arbitraria con período unitario

$\therefore f(x)=a^{\Theta(x)\prod\limits_x\ln(x)}$ , donde $\Theta(x)$ es una función periódica arbitraria con período unitario, $a\in\mathbb{R}^+$ y $a\neq1$