Demostrar que $\sin(x+\frac{\pi}{n})$ converge uniformemente a $\sin(x)$.

Question

Yo he comenzando aprender convergencia uniforme y entiendo la definición formal. Lo que tengo hasta ahora es:

$|\sin(x+ \frac{\pi}{n}) - \sin(x)| < \epsilon \ \ \ \ \forall x \in \mathbb{R} \ \ \ \ $ $n \geq N, \epsilon>0$

LHS = $|2\cos(x+\frac{\pi}{2n})\cdot \sin(\frac{\pi}{2n})| < \epsilon $

¿Voy por el camino correcto aquí? He hecho algunos ejemplos bien, pero cuando trig participa en todo el espacio, me confundo en cuanto a lo debo hacer...

Ayuda a todos mucho agradecería, tengo un examen de análisis mañana y necesito poder hacer esto.

Gracias.

Answer 1

Usar el hecho de que derivado de la función seno tiene valor absoluto de a lo más uno para ver que $$|\sin(x) - \sin(y)| \le |x - y|.$ $

Answer 2

Lo que has hecho hasta ahora está bien. Si desea continuar en la dirección que usted comenzó, sigue siendo notar %#% $ #% y para cualquier determinado $$\left|2\cos\left(x+\frac{\pi}{2n}\right)\cdot \sin\frac{\pi}{2n}\right| \le 2\left|\sin\frac{\pi}{2n}\right|$ $\varepsilon>0$ puede elegir tal que tiene la desigualdad $N$ $ $$2\left|\sin\frac{\pi}{2n}\right|<\varepsilon$.

¿Ves por qué esto es cierto?

Answer 3

¿Puede usted probar que $\,\,\sin \pi/n\to 0\,\,,\,\,\cos \pi/n\to 1\,\,$? A continuación lo $\epsilon$-cosas y utilizar identites trigonométricas de ángulo doble para obtener la condición de Cauchy para la convergencia uniforme: $$\left|\sin\left(x+\frac{\pi}{n}\right)-\sin\left(x+\frac{\pi}{m}\right)\right|\leq \left|\sin x\left(\cos\frac{\pi}{n}-\cos\frac{\pi}{m}\right)+\cos x\left(\sin\frac{\pi}{n}-\sin\frac{\pi}{m}\right)\right|$ $ y recordar que $\,\,\forall x\in\mathbb{R}\,,\,\,|\sin x+\cos x|<2$