El divisor común más grande de dos relativamente primos

Question

Aquí está la pregunta que estoy tratando de probar:

Si$a,b$ es relativamente primo y$a>b$ demuestra que$\gcd(a-b, a+b) \in \{1, 2\}$.

¿Puedo comenzar con algo como$(a-b)k + (a+b)l = d$ donde$k,l$ son números enteros y$d=\gcd(a-b,a+b)$?

Answer 1

Uno puede usar el argumento de Lema de Bézout relacionado con cómo comenzó. Dado que$a$ y$b$ son relativamente primos, existen números enteros$x$ y$y$ tales que$ax+by=1$.

Tenga en cuenta que$(a-b)(x+y)+(a+b)(x-y)=2ax+2by=2$. Se deduce que el gcd de$a-b$ y$a+b$ divide$2$. Es fácil encontrar ejemplos donde el gcd es$1$, y también con ejemplos donde el gcd es$2$.

Observación: El argumento anterior no es de ninguna manera mi manera favorita de probar el resultado.

Answer 2

Sugerencia $\ $ Por el Lema bajo $\rm\ \gcd(a,b)\mid gcd(a\!-\!b,a\!+\!b)\mid 2\gcd(a,b)$

Lema $\ $ Si $\rm\,(x,y)\overset{A}\mapsto (X,Y)\,$ es lineal, a continuación, $\: \rm\gcd(x,y)\mid \gcd(X,Y)\mid \Delta \gcd(x,y),\ \ \Delta = \det A$

Prueba de $\ $ Invertir el lineal mapa de $\rm\,A\,$ por la Regla de Cramer (multiplicando por la adjunta) los rendimientos

$$\rm \begin{eqnarray} a\ x\, +\, b\ y &=&\rm X\\ \\ \rm c\ x\, +\, d\ y &\ =\ &\rm Y\end{eqnarray} \quad\Rightarrow\quad \begin{array} \rm\Delta\ x\ \ \ =\ \ \ \rm d\ X\, -\, b\ Y \\\\ \rm\Delta\ y\ =\ \rm -c\ X\, +\, a\ Y \end{array}\ ,\quad\ \Delta\ =\ ad-bc\qquad $$

Por lo tanto, HR sistema, $\rm\ n\ |\ X,Y\ \Rightarrow\ n\ |\ \Delta\:x,\:\Delta\:y\ \Rightarrow\ n\ |\ gcd(\Delta\:x,\Delta\:y)\ =\ \Delta\ gcd(x,y)$.
En particular,$\rm\ n = \gcd(X,Y) \mid \Delta\, \gcd(x,y) $.

Además, por el lado izquierdo de sistema de $\rm\,n\mid x,y\ \Rightarrow\ n\mid X,Y\ \Rightarrow\ n\mid\gcd(X,Y)$.
En particular, $\rm\ n = gcd(x,y)\mid \gcd(X,Y).\quad $ QED

Answer 3

Sugerencia Puede ser más fácil ir al otro lado. Digamos$\gcd(a-b, a+b) = k$ donde$k \neq 1$. Entonces, debe ser que$k|(a-b)$ y$k|(a+b)$. Entonces bien

• $k|a$ y$k|b$ (esto no puede ser, por qué?) o
• ambos$a,b$ son extraños (¿qué sucede entonces?)