Solución de ecuaciones de funciones especiales con las simetrías de mentira

Question

La mentira de grupo + representación enfoque de teoría de funciones especiales, y cómo resolver la oda del que surgen en física es absolutamente increíble. He dado un ejemplo de su poder de abajo de la ecuación de Bessel.

Kaufman, el artículo describe los métodos algebraicos para tratar de Hermite, Legendre & Asociados de Legendre. Puede que tome el otro especial de las funciones mencionadas en este documento, se puede obtener como combinación lineal de la conformación simetrías del Laplaciano (expresado como mentira álgebra elementos), y obtener su solución de forma análoga a cómo Bessel se resuelve a continuación? Creo que es algo así como una interpretación geométrica de la Weisner del método.

La ecuación de Bessel parece estar diciendo: encontrar una función en el plano de tal manera que cuando nos movemos a la derecha, a continuación, mayús volver de nuevo a la izquierda, todos localmente (es decir, diferencialmente) en coordenadas polares, se obtiene la misma función:

(c.f. Killingbeck, Técnica Matemática y Aplicaciones, sec. 8.21).

La idea es tomar la ecuación de Bessel, factor, agregar una variable adicional para hacer que los factores de parámetros independientes para que se conviertan en elementos de un álgebra de la mentira, identificar el significado de los factores, en este caso la notificación de la Mentira álgebra factores son traducciones en coordenadas Polares, y se dan cuenta que es solo una expresión diferencial de una simetría.

La ecuación de Bessel surge de $LRv = v$ cuando se expresa $L$ & $R$ en coordenadas polares. Tiene sentido expresar en coordenadas polares desde Bessel surge de la separación de la Laplaciano suponiendo simetría cilíndrica, y el $LRv = v$ suposición (no $LRv = w$) está motivado por la simetría del Laplaciano.

A partir de esta idea podemos, por alguna razón, realmente resolver la ecuación de Bessel con una foto!:

Sólo queremos a cambio de $\mathcal{J}_n(r,\phi)$ en la dirección x, usando el operador $e^{a\tfrac{\partial}{\partial x}}$, expresado en coordenadas polares: $e^{\tfrac{a}{2}(\mathcal{L}-\mathcal{R})}$ y darse cuenta de que va a ser igual a $\mathcal{J}_n(r',\phi')$:

Así que la última línea viene arrastrando todo esto con el origen y poniendo a lo largo del eje x, aquí podemos ver el sentido geométrico de funciones de Bessel!

Hipergeométrica se supone debe estar relacionado con $SL(2,R)$ simetrías, de Bessel de traslación de las simetrías planas, la función Gamma relacionados con la lineal simetrías $y = ax + b$, etc... hay un fácil unificada geométricas exposición sobre cómo lidiar con estos bebés?

Sería genial para entender a las otras ecuaciones, su formulación y solución, con una interpretación geométrica como este.

Referencias:

1. Killingbeck, Técnica Matemática y Aplicaciones, sec. 8.21
2. Vilenkin, la Representación de la Mentira de los Grupos Especiales y Funciones Vol. 1
3. Vilenkin, Funciones Especiales y la Teoría del Grupo de Representaciones
4. Miller, de la Mentira de la Teoría y Funciones Especiales
5. Kaufman, Funciones Especiales de la Física Matemática desde el punto de vista de la Mentira Álgebra

Answer 1

Estás en lo correcto en su interpretación de que Weisner método es geométricas en la naturaleza: es un método para la búsqueda de la generación de funciones para las funciones especiales uso de teoría de la representación de la Mentira de grupos y álgebras de Lie. Y como usted sabe, la Mentira grupos juegan un enorme papel en la moderna geometría, en diferentes niveles. Mentira grupos son suaves diferenciable colectores, que es, aproximadamente, un tipo de colector que a nivel local es lo suficientemente similar a un espacio lineal que permiten hacer cálculos. La mentira y otros mostraron que la más importante de las ecuaciones para las funciones especiales y polinomios ortogonales tienden a surgir de grupo teórico de simetrías. La solicitud inicial, en la que se encuentran tenía en mente era el de la teoría de ecuaciones diferenciales: en el modelo de la teoría de Galois y ecuaciones polinómicas, la conducción de la concepción era de una teoría capaz de unificar, por el estudio de la simetría, de toda el área de ecuaciones diferenciales ordinarias. Sin embargo, la esperanza de que la Mentira de la Teoría de unificar todo el campo de las ecuaciones diferenciales ordinarias no se cumplió.

Por lo tanto, es correcto que usted puede tomar

las otras funciones especiales mencionados en el presente documento, se puede obtener como combinación lineal de la conformación simetrías del Laplaciano (expresado como mentira álgebra elementos), y obtener su solución de forma análoga a cómo Bessel se resuelve a continuación.

porque de cómo estas funciones se definen. Sin embargo, no existe un método general, porque esto no es válido en general para arbitrario de ecuaciones diferenciales ordinarias.