Independencia condicional si la articulación factoriza

Question

He demostrado que:$X⊥Y|Z\ {\rm iff}\ p(x,y|z)=p(x|z)p(y|z)$ para todo$x,y,z$ tal que$p(z)>0$.

La siguiente pregunta es probar una definición alternativa:$X⊥Y|Z$ iff existen funciones$g$ y$h$ tales que$p(x,y|z)=g(x,z)h(y,z)$ para todo$x,y,z$ %.

Estoy pensando que necesito integrar la función de alguna manera ...?

Answer 1

Desde $X$ $Y$ son independientes dado $Z$ fib $p(x,y|z)=p(x|z)p(y|z)$, todo lo que usted necesita demostrar es que, si $p(x,y|z)=g(x,z)h(y,z)$,$p(x,y|z)=p(x|z)p(y|z)$.

A partir de la igualdad de $p(x,y|z)=g(x,z)h(y,z)$. se puede integrar ambos lados de x: $$ \int_\text{X}p(x,y|z)\text{d}x=\int_\text{X}g(x,z), h(y,z)\text{d}x $$ Esto implica $$ p(y|z)=\int_\text{X}g(x,z), h(y,z)\text{d}x=h(y,z)\int_\text{X}g(x,z)\text{d}x $$ y le dice que $$ h(y,z)\propto p(y|z) $$ [donde la proporcionalidad signo es una función de $y$, lo que significa que la constante de proporcionalidad puede depender de $z$, es decir, $h(y,z)=\nu(z) p(y|z)$]. Un simétrica argumento conduce a $$ g(x,z)\propto p(x|z) \quad\text{es decir, } g(x,z)=\eta(z) p(z|x) $$ Por lo tanto, $$ g(x,z), h(y,z)=\eta(z) p(z|x)\nu(z) p(y|z)\,, $$ y desde ambos lados de integrar a $1$ (cuando la integración de ambas en $x$$y$), llegamos a la conclusión con $$ \eta(z) \nu(z)=1 $$ Por lo tanto,$$p(x,y|z)=p(x|z)p(y|z)$$