He estado refrescando mi álgebra lineal, y esta es una pregunta de curiosidad que tengo.
Dejemos que $U:=U_n(F)$ sea el álgebra del triángulo superior $n\times n$ matrices sobre un campo $F$ . ¿Existe una clasificación de todas las $U$ -(hasta el isomorfismo, por supuesto)? He estado investigando por ahí, pero no he encontrado ningún resultado relevante a primera vista. También me gustaría tener una referencia que muestre dicha clasificación, si es que existe. Gracias.
El Jacobson radical $J(R)$ de un anillo de $R$ se compone de todos los elementos que actúan por cero en todos los simple a la izquierda $R$-módulos. De ello se deduce que la simple módulos de $R$ son, naturalmente, identificado con la simple módulos de $R/J(R)$.
El Jacobson radical tiene una importante alternativa de caracterización, que consta de todos los elementos $r$ tal que $1 - xr$ es invertible para todos los $x$. El uso de esta caracterización, afirmo que el Jacobson radical de $R = U_n(F)$ consiste, precisamente, de la estrictamente triangular superior de las matrices. El cociente $R/J(R)$ es isomorfo a $F^n$, donde el isomorfismo envía un triangular superior de la matriz a su diagonal, y el simple módulos de $F^n$ se identifican con la $n$ copias de $F$.
$U_n(F)$ pasa a ser un carcaj algebra de un número finito de acíclicos carcaj, y una declaración similar se cumple en este generalidad: la simple módulos de un álgebra de forma natural en bijection con los vértices de la correspondiente carcaj.
La respuesta que no esperas escuchar probablemente es: para cualquier anillo con 1, los módulos simples (derechos) se caracterizan como cocientes R/M donde M es un ideal derecho maximal. Así que, si puedes determinar todos los ideales maximales de la derecha, tienes todos los módulos simples de la derecha, y de forma similar para la izquierda. Estoy seguro de que puedes encontrar inmediatamente varios, pero tendré que disculparme porque no recuerdo si hay una manera de señalar todos los módulos simples a la vez.
También puede ser útil saber que el radical es el conjunto de todas las matrices estrictamente triangulares superiores (ya que todos los ideales máximos de izquierda/derecha tendrán que contenerlas). Creo que seleccionar cualquier entrada diagonal y mirar el subconjunto de matrices cero en esa entrada diagonal es un ideal máximo. Pensé que podría ser un conjunto completo, pero luego leí que no todos los módulos simples se incrustan en un anillo de matrices triangulares superiores, así que debe haber algunos más escondidos ahí.
Sé que eso es muy poco, así que te diré todo lo demás que sé sobre este anillo. Es un Anillo de serie artiniano (esto significa que es una suma directa de ideales derechos, cada uno de los cuales tiene un conjunto finito linealmente ordenado de submódulos). También es hereditario y es un anillo de tipo de representación finita .
Espero ver una solución más segura y completa para este problema :)
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