Una desigualdad relacionada con el teorema del coseno

Question

Dejemos que $A,B,C$ sean los tres ángulos del triángulo a (con longitud $a,b,c$ ). ¿Podemos demostrar que $$x^2+y^2+z^2\geq 2x y \cos A+2xz\cos B+2yz\cos C?$$ para todos $x,y,z\in\Bbb R$ .

No veo si es cierto, pero lo encuentro en algún libro.

Sospecho que es falso. Mi idea es que si $x=a$ , $y=b$ , $z=c$ entonces el teorema del coseno implica que la desigualdad es en realidad una igualdad... Por lo tanto, la matriz $$\begin{pmatrix}1&-\cos A&-\cos B\\-\cos A&1&-\cos C\\ -\cos B&-\cos C&1\end{pmatrix}$$ es semidefinido positivo. Sin embargo, puede haber algunos menores (por ejemplo $-\cos A$ ) sea negativo, contradiciendo al hecho de que $M$ es semidefinido positivo $\Leftrightarrow$ todos los menores $\geq 0$ ...

Answer 1

Observe que

$x^2+y^2+z^2- 2x y \cos A-2xz\cos B-2yz\cos C=$

$$(x,y,z)\begin{pmatrix}1&-\cos A&-\cos B\\-\cos A&1&-\cos C\\ -\cos B&-\cos C&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}.$$

Ahora bien, como $A+B+C=\pi$ entonces $(\pi-A)+(\pi-B)+(\pi-C)=2\pi$ .

Así, podemos considerar tres vectores normalizados $v_1,v_2,v_3$ en $\mathbb{R}^2$ con origen en $(0,0)$ tal que el ángulo entre $v_1$ y $v_2$ es $\pi-A$ el ángulo entre $v_2$ y $v_3$ es $\pi-C$ y el ángulo entre $v_3$ y $v_1$ es $\pi-B$ .

Ahora, considere la matriz de Gram $G(v_1,v_2,v_3)=\begin{pmatrix}\langle v_1,v_1 \rangle& \langle v_1,v_2 \rangle& \langle v_1,v_3 \rangle\\\langle v_2,v_1 \rangle& \langle v_2,v_2 \rangle& \langle v_2,v_3 \rangle\\ \langle v_3,v_1 \rangle& \langle v_3,v_2 \rangle& \langle v_3,v_3 \rangle\end{pmatrix}$ .

Observe que $\langle v_1,v_1 \rangle=\langle v_2,v_2 \rangle=\langle v_3,v_3 \rangle=1$ .

Observe que $\langle v_1,v_2 \rangle=|v_1||v_2|cos(\pi-A)=-cos(A)$ ,

$\langle v_1,v_3 \rangle=|v_1||v_3|cos(\pi-B)=-cos(B)$ ,

$\langle v_2,v_3 \rangle=|v_2||v_3|cos(\pi-C)=-cos(C)$ .

Como toda matriz de Gram es semidefinida positiva, entonces $$(x,y,z)\begin{pmatrix}1&-\cos A&-\cos B\\-\cos A&1&-\cos C\\ -\cos B&-\cos C&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}\geq 0.$$

Answer 2

La matriz es semidefinida positiva. Su polinomio característico es $$ (1-X)^3-(1-X)(\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C)-2\cos A\cos B\cos C. $$ Si $A+B+C=\pi$ es fácil demostrar que $$ 2\cos A\cos B\cos C=1-(\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C) $$ (empezar por $\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C$ y considerar $C=\pi-(A+B)$ ). Establecer $k=\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C$ por lo que el polinomio característico puede escribirse como $$ (1-X)^3-k(1-X)+k-1 $$ y, fijando $t=1-X$ se convierte en $t^3-kt+k-1$ que tiene $1$ como raíz, por lo que se puede escribir como $$ (t-1)(t^2+t-k+1) $$ La raíz $t=1$ corresponde a un valor propio cero. Los otros valores propios son las raíces de $$ (1-X)^2+(1-X)-k+1=X^2-3X+3-k=X^2-3X+(\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C) $$ que tiene dos raíces positivas.

Answer 3

Sea nuestro triángulo $\Delta ABC$ . Dejemos que $\vec i=\frac{1}{AB}\vec{AB}$ , $\vec{j}=\frac{1}{CA}\vec{CA}$ y $\vec{k}=\frac{1}{BC}\vec{BC}$ .

Por lo tanto, nuestra desigualdad es $\left(x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\right)^2\geq0$ .

La última desigualdad es sólo $$\sum_{cyc}(x^2+2xy\vec{i}\vec{j})\geq0$$ o $$\sum_{cyc}(x^2+2xy\cos(180^{\circ}-A))\geq0$$ o $$x^2+y^2+z^2\geq2xy\cos{A}+2yz\cos{B}+2zx\cos{C}.$$