Cómo Euler consigue$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$.

Question

Vi en wikipedia que él considera$$\frac{\sin(x)}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}+...$ $

Las raíces están dadas por$x=\pm n\pi$ y por lo tanto (para mí)$$\frac{\sin x}{x}=(x-\pi)(x+\pi)(x-2\pi)(x+2\pi)(x-3\pi)(x+3\pi)...$ $

¿Cómo puede obtener$$\frac{\sin x}{x}=\left(1-\frac{x}{\pi}\right)\left(1+\frac{x}{\pi}\right)\left(1-\frac{x}{2\pi}\right)\left(1+\frac{x}{2\pi}\right)\left(1-\frac{x}{3\pi}\right)\left(1+\frac{x}{3\pi}\right)...\ \ \ ??$ $

Answer 1

Euler de la prueba es un poco ad-hoc. Él utiliza el hecho de que para finito de polinomios si:

$$(x-r_1)\dots(x-r_n)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$$

a continuación, $$\dfrac{1}{r_1}+\dots+\dfrac{1}{r_n}=\dfrac{-a_1}{a_0}$$

A continuación, se asume que el resultado es cierto para la alimentación de la serie, y usos:

$$\dfrac{\sin(\sqrt x)}{\sqrt x}=1-\dfrac{x}{3!}+\dfrac{x^2}{5!}+\dots$$

por lo $r_k=(k\pi)^2$$a_0=1$$a_1=\dfrac{-1}{6}$.

Referencia