¿Cómo se llaman estos problemas y cómo se solucionan?

Question

Soy auto aprendizaje del cálculo y me encontré con el siguiente problema:

Express

$I_n =\int \frac{dx}{(x^2+a^2)^n}$

El uso de $I_{n-1}$ ($a$ es un parámetro positivo y $n=2,3,4,...$)

Es esto acerca de las integrales dobles? Podría alguien por favor ampliar un poco más para que yo pueda aprender cómo resolver este tipo de problemas?

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Continuando @SimplyBeautifulArt la respuesta:

$I_n=a^{1-2n}\int{cos^{2n-2}(u)du} = a^{1-2n}\int{cos^{2n-3}(u)cos(u)du}$

$I_{n-1}=a^{3-2n}\int{cos^{2n-4}(u)du}$

La integración por partes($f:cos^{2n-3}(u); dg:cos(u)du$):

$I_n=a^{1-2n}(cos^{2n-3}(u)sin(u) + (2n-3)\int{cos^{2n-4}(u)sin^2(u)du})$

$I_n=a^{1-2n}(cos^{2n-3}(u)sin(u) + (2n-3)(\int{cos^{2n-4}(u)du} -\int{cos^{2n-2}(u)du}))$

$I_n=a^{1-2n}cos^{2n-3}(u)sin(u) + (2n-3)(\frac{a^{3-2n}}{a^2}\int{cos^{2n-4}(u)du} -a^{1-2n}\int{cos^{2n-2}(u)du})$

$I_n=a^{1-2n}cos^{2n-3}(u)sin(u) + (2n-3)(\frac{I_{n-1}}{a^2} -I_n)$

$I_n=(a^{1-2n}cos^{2n-3}(u)sin(u) + (2n-3)\frac{I_{n-1}}{a^2})/2n-2$

Recuerdan $u=arctan(\frac xa)$

$I_n=(a^{1-2n}\frac{1}{\sqrt{1+(x/a)^2}}^{2n-3}\frac{x/a}{\sqrt{1+(x/a)^2}} + (2n-3)\frac{I_{n-1}}{a^2})/2n-2$

¿Eso es todo?

Answer 1

Usar la sustitución $x=a\tan(u)$ para obtener

$$I_n=\int\frac{a\sec^2(u)}{(a^2\tan^2(u)+a^2)^n}\ du$$

Recordar la identidad trigonométrica $1+\tan^2=\sec^2$ para reducir esto a

$$I_n=a^{1-2n}\int\sec^{2-2n}(u)\ du$$

$$=a^{1-2n}\int\cos^{2n-2}(u)\ du$$

Luego esto se maneja usando el teorema de Pitágoras, integración por las piezas o sustitución, según el valor de $n$, como se describe en este post.