Usando el teorema de la función inversa demostrar que $(\sin^{-1}x)'$ = $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

Question

Utilizando el Teorema de la Función Inversa de demostrar que $(\sin^{-1}x)'$ = $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

Prueba: Supongamos $f(x) = \sin x$$x$$(-1,1)$. A continuación, vamos a $x_{0}$ en (-1,1).

Entonces $f'(x_{0})$ = $\cos(x_{0})\neq 0$, donde $f'(x_{0})$ $> 0$. Por lo $f$ está aumentando así, uno a uno.

A continuación, utilizando el Teorema de la Función Inversa, $(f^{-1})'(y_{0})$ = $\frac{1}{\cos(\sin^{-1}y_{0})}$ = $sec(x_{0})$ = $\frac{1}{\sqrt{1-y_{0}^2}}$ .

Es esta una forma correcta para demostrarlo? Por favor, cualquier sugerencia/comentario se agradece. Y por favor alguien puede verificar los intervalos son correctos ya que estoy trabajando con matrices inversas. Muchas gracias.

Answer 1

Que $y=\sin^{-1}x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Así $x=\sin y$.

$$(\sin^{-1}x)'=\frac{1}{\sin' y} = \frac{1}{\cos y}= \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2y}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$