Ruta óptima que consiste en remar luego caminando

Question

Problema

Usted está en un barco en el punto a en el agua, y que necesita para llegar al punto B en la tierra. Su remo velocidad de 3 km/h, y su velocidad al caminar a 5 km/h.

Consulte la figura:

Encontrar la ruta que toma la menor cantidad de tiempo.

Mi idea

Comencé marcando una hoja de ruta:

A partir de aquí, me imagino que el tiempo total que va a ser $$T = \frac{R}{3\mathrm{km/h}} + \frac{W}{5\mathrm{km/h}}$$

Dado que esta es una función de dos variables, estoy atascado.

La idea general es la de expresar $W$ en términos de $R$ sea de una sola variable y, a continuación, aplicar la costumbre de optimización de tácticas (con sus derivados), pero estoy teniendo un tiempo difícil encontrar este tipo de expresión.

Cualquier ayuda apreciada!

EDITAR - solución Alternativa?

Desde la distancia de a al ángulo derecho (RA) es viajó 3/5 veces tan rápido como la distancia entre la AR y B, podría acabo de escala de la antigua?

De esa manera, me sale UN-RA ser una distancia de $6\cdot\frac53 = 10\mathrm{km}$, lo que hace que la hipotenusa $\sqrt{181}$ de la distancia más corta entre a y B. Y ya hemos escalado, podemos considerar transitable con velocidad de marcha en lugar de remo de la velocidad!

Los pensamientos?

Answer 1

La porción de la línea en la parte superior izquierda es $9-w$. Así que por el teorema de Pitágoras $R^2 = 36 + (9-w)^2$. Creo que es la relación que buscas.

Answer 2

• a) la solución

La fórmula ya ha sido señalado por wgrenard y AdamBL $$ T = {1 \over 3}\sqrt {36 + \left( {9 - W} \right)^{\,2} } + {1 \más de 5}W $$

la diferenciación que $$ {{dT} \over {ps}} = {{5W + 3\sqrt {36 + \left( {9 - W} \right)^{\,2} } - 45} \más de {15\,\sqrt {36 + \left( {9 - W} \right)^{\,2} } }} $$ e igualando a $0$ da $$ \eqalign{ & {{dT} \over {ps}} = 0\quad \Rightarrow \quad 3\sqrt {36 + \left( {9 - W} \right)^{\,2} } = 45 - 5W\quad \Rightarrow \cr & \Rightarrow \quad 9\left( {36 + \left( {9 - W} \right)^{\,2} } \right) = 25\left( {9 - W} \right)^{\,2} \quad \Rightarrow \cr & \Rightarrow \quad 9 \cdot 36 = 16\left( {9 - W} \right)^{\,2} \quad \Rightarrow \quad W = 9 - \sqrt {{{9 \cdot 36} \over {16}}} = 9 - {9 \más de 2} = {9 \over 2} \cr} $$ que es un mínimo, ya que la función es convexa como ya se ha indicado.

Así $$ \left\{ \matriz{ W_m = 9/2 \hfill \cr T_m = 17/5 \hfill \cr R_m = 15/2 \hfill \cr} \right. $$

• b) Escala

Su idea de la escala en función de la velocidad es bastante enredadoras.
Que significa (si he entendido correctamente) que están transformando el triángulo de espacio para unidades de tiempo.
Pero, por la introducción de diferentes factores de escala para las dos coordenadas, que socavan la norma Euclídea, que no "transferencia" entre los dos sistemas (si se supone válido en uno, deberá ser modificado en el otro).

Answer 3

Usted no necesita preocuparse acerca de la hipotenusa en el triángulo rectángulo más grande.

Considere el triángulo derecho que tiene a R como la hipotenusa. Lado izquierdo de este triángulo la longitud de la $6$ y la parte superior se tiene la longitud de $(9-W)$. Por el teorema de Pitágoras, $R^{2} = 36+(9-W)^2$.

Resolviendo para R y la inserción en la ecuación original rendimientos $T= \frac{1}{3} \sqrt{36+(9-W)^{2}} + \frac{1}{5} W$. Esta función es estrictamente convexa, por lo que simplemente puede minimizar mediante la resolución de $\frac{d\ T}{d\ W}=0$ (el habitual de la optimización de tácticas').

Con respecto a su alternativa de solución, estoy seguro de lo que está discutiendo. La distancia más corta entre los puntos a y B siempre será la línea que los conecta. Como se ha mostrado en el dibujo, $|AB|=3\sqrt{13} \ne\sqrt{181}$.

Answer 4

De Snell de la Ley es generalmente aplicado a la óptica, sino que se basa en la ruta más rápida a través de dos medios en los que la velocidad de la luz es diferente. De Snell de la Ley dice que $$ n_1\sin(i_1)=n_2\sin(i_2)\tag1 $$ donde $i_k$ es el ángulo de incidencia para el límite de la ruta de acceso y el $n_k$ es inversamente proporcional a la velocidad en el medio particular ($n_kv_k=c$).

Podemos adaptarlo a la situación actual, señalando que, a $(1)$ es equivalente a $$ \frac{\sin(i_1)}{v_1}=\frac{\sin(i_2)}{v_2}\tag2 $$ Si viajamos a lo largo de la costa, $\sin(i_2)=1$ (el ángulo de incidencia es $90^\circ$). Desde $v_1=3$$v_2=5$, debemos tener $\sin(i_1)=\frac35$, lo que implica que $\tan(i_1)=\frac34$.

Si $\tan(i_1)=\frac34$, y la anchura del río es de $6$ km, el río abajo, la distancia debe ser $\frac34\cdot6=4.5$ km.

Este camino lleva a $\frac{7.5}3+\frac{4.5}5=3.4$ horas.