¿De cuantas formas puede un estudiante puntos exactamente $100$ en cuatro $50$ punto de exámenes? ¿más del $100$?

Question

Un estudiante toma exámenes de $4$ $50$ puntos cada una. ¿De cuántas maneras puede anotar exactamente $100$? ¿Del mismo modo, de cuántas maneras puede él anotar más de $100$?

Mi intento:

Parece que no puedo llenar en las posibilidades de $4$. El alcance depende de la restricción de comparación a $100$.

¡Gracias por cualquier ayuda!

Answer 1

Para anotar exactamente 100, primer supongamos que no existen otras limitaciones que tener números no negativos. A continuación, el número de soluciones a $a+b+c+d = 100$ es simplemente $\binom{103}{3}$ por un estándar de estrellas y barras de argumento. Ahora solo nos falta quitar soluciones donde uno de los valores es mayor que $50.$ Supongamos $ a > 50,$, a continuación, pedimos soluciones a $(a-51) + b + c + d = 49,$ donde $a,b,c,d$ son no negativos, los cuales ha $\binom{52}{3}$ soluciones. Ya que podría haber tenido cualquiera de los cuatro será el más grande de $50,$ hay $4\cdot \binom{52}{3}$ de esos "malos" de las soluciones. Por lo tanto el total requerido es $N_{100} = \binom{103}{3} - 4\binom{52}{3}.$

Para la segunda parte, cualquier solución a $a + b + c +d > 100$ se corresponde con $(50-a) + (50-b) + (50-c) + (50-d) < 100.$ por lo tanto el número de este tipo de soluciones es sólo $(51^4 - N_{100})/2,$ donde $N_{100}$ es la respuesta a la primera parte

Answer 2

Aquí es un ataque de fuerza bruta enfoque que es menos elegante que la otra respuesta, pero tal vez será un escaparate de una manera diferente de llegar al mismo número.

Vamos a dividir nuestro exámenes en dos grupos. Examen de uno y dos están en el grupo $A$ y el examen de tres y cuatro están en el grupo $B$. Deje $50 \leq n \leq 100$. Queremos tener en cuenta el número de maneras en que $n$ puntos obtenidos en el grupo $A$ y el restante $(100 - n)$ en el grupo $B$.

En primer lugar, supongamos $n = 50$. El número de maneras de grupo $A$ score$50$$51$, ya que hay una posibilidad para cada uno de los resultados del examen, que van desde el $0$$50$. Hay un número similar de posibilidades para el grupo $B$. Por lo tanto $(51)^2$ total de posibilidades que existen en este caso.

De lo contrario, un grupo de puntuaciones por encima de $50$ y el otro por debajo de $50$. Supongamos que es el grupo $A$ que los puntajes más altos -- podemos justificar esta suposición multiplicando por $2$ al final, ya que hay casos idénticos al grupo $B$ puntajes más altos. Para $n>50$ hay $(101 - n)$ formas para el grupo $A$ score $n$ puntos. Por ejemplo, si $n = 100$, entonces hay un camino, y si $n = 60$ hay $41$ posibilidades, como el examen de uno puede recibir entre el $10$ $50$ puntos. Luego, con el resto de $(100-n)$ puntos para el grupo B hay $(100-n)+1 = 101-n$ posibilidades. Esto es debido a que, por ejemplo, si $n=60$ $100-n = 40$ e hay $41$ posibilidades, como el examen de $3$ puntuación de entre $0$ $40$ puntos. Así, el número total de posibilidades se $(101 -n)^2$. Esta fórmula es agradable y simétrica, y sugiere que una más bella de análisis que el de aquí, es posible. De todos modos, se obtiene la suma total número de posibilidades como

$$(51)^2 + 2\sum_{n=51}^{100} (101 - n)^2 = (51)^2 + 2\sum_{n=1}^{50} n^2$$

Mediante una sencilla fórmula para la suma de los cuadrados, obtenemos $(51)^2 + 2(42925) = 88451$.

Hasta ahora tan bueno. ¿Cómo podemos calcular el número total de formas de puntuación superior a cien? Por simetría, esto es igual al número total de maneras de llegar a menos de $100$, simplemente mediante la sustitución de cada respuesta correcta por cada respuesta incorrecta. Por lo que el número total de posibles puntuaciones $(51)^4$ es la suma de $88451$ y el doble de la puntuación en la pregunta. Calculamos

$$ \frac{51^4 - 88451}{2} = 3338375$$.

Answer 3

Los resultados que puede conseguir son los coeficientes de las diferentes competencias de $x$ en la expansión\begin{align*} (1+x+\cdots + x^{50})^4 &= \left(\frac{1-x^{51}}{1-x}\right)^4 \\ &= (1-4x^{51} + 6X^{102} - 4X^{153} + X^{204})\left(1+ 4x + \frac{4\cdot 5}{1\cdot 2}x^2 + \frac{4\cdot 5 \cdot 6}{3!}x^3 + \cdots +\binom{n+3}{3}x^n+\cdots \right) \end{align*} por lo tanto el número de maneras en que él puede conseguir exactamente 100 es %#% $ #% segunda parte ya ha sido resuelto en las otras soluciones publicadas.

Answer 4

Cada puntuación va de 0 a 50, así que podemos descomponerla así: $P(a+b+c+d = 100) = \sum\limits_{X=0}^{100}{P(a+b = X)P(c+d=100-X)}$

$P(a+b = X)=\frac{1}{51^2}card\{(0,X), (1,X-1), ..., (X,0)\} = \frac{X+1}{51^2}$

$P(a+b+c+d = 100) = \sum\limits_{X=0}^{100}(\frac{X+1}{51^2}\frac{100-X+1}{51^2})$

$=\frac{1}{51^4}\sum\limits_{X=1}^{101}X(102-X)= \frac{1}{51^4}\sum\limits_{X=1}^{101}(102X-X^2)$

$=\frac{1}{51^4}(-\frac{(101.(101+1).(2.101+1)}{6}+102.\frac{101.(101+1)}{2})= \frac{176851}{6765201}\approx0.0261$

Edit: me di cuenta que usted está pidiendo de cuántas maneras puede anotar 100 y no la probabilidad de puntuación 100. La respuesta que estás buscando es el numerador de la fórmula anterior, por lo tanto 176851.