Axisimétrica potenciales: gran tema! El tratamiento es sorprendentemente similar a la central de la fuerza de los potenciales de la realidad, con la diferencia de que las órbitas no son necesariamente planas. Aquí está una breve introducción, pero no mantenga la amplitud de las órbitas como no he trabajado los cálculos para la finalización.
Por supuesto, uno elige un marco Cartesiano $Oxyz$ donde $Oz$ es el eje de simetría (donde $O$ sería el centro de la disco en tu ejemplo, y donde $Oz$ sería perpendicular a ella) y, a continuación, inmediatamente uno se mueve a coordenadas cilíndricas $(r,\theta,z)$:
$$\begin{aligned}
\vec{x} &= r\hat{u}_r+z\hat{u}_z,\\
\vec{v} &= \dot{r}\hat{u}_r + r\dot{\theta}\hat{u}_\theta+\dot{z}\hat{u}_z,\\
\vec{a} &= (\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\hat{u}_r+(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\hat{u}_\theta+\ddot{z}\hat{u}_z.
\end{aligned}$$
El potencial gravitacional $\Phi$, por simetría, sólo depende de $r$ $z$ e no $\theta$. Por lo $m\vec{a}=-m\nabla\Phi$ lee
$$\begin{align}
\ddot{r}-r\dot{\theta}^2&=-\Phi'_r,\\
2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta} &= 0,\\
\ddot{z}&=-\Phi'_z. \tag{1}
\end{align}$$
La segunda ecuación expresa la conservación de la
$$L=r^2\dot{\theta},\tag{2}$$
que es la componente del momento angular sobre el $z$-eje. Este es exactamente el mismo conserva la cantidad como por una fuerza central, y por lo tanto, podemos utilizar los mismos trucos, mediante la eliminación de $\dot{\theta}$ a partir de la primera ecuación,
$$\ddot{r} = -\Psi'_r,\tag{3}$$
donde $\Psi$ es el potencial efectivo
$$\Psi(r,z) = \Phi(r,z)+\frac{L^2}{2r^2}. $$
La única diferencia con la fuerza central es que tenemos un movimiento en el $(r,z)$ plano. El avión en sí es girar a una variación de la velocidad angular desde $\dot{\theta}$ depende de $r$ a través de eqn (2). Pero por suerte, las ecuaciones para la $(r,z)$ están desacopladas: eqn (1) y (3).
El punto crucial, como en el caso de una fuerza central, es el término que se $\frac{L^2}{2r^2}$ en el potencial efectivo: el famoso centrífuga barrera que impide la órbita de la masa para caer de nuevo en el planeta. Más precisamente, se permite la existencia de un mínimo del potencial efectivo $\Psi$. Ya que este término sólo depende de $r$, esto permite un mínimo en $r_g>0$, pero sólo en $z=0$, es decir, en el plano del disco. Sin embargo, es perfectamente posible tener $r_g > a$: entonces, no es una órbita circular $r=r_g,\ z=0$, y luego están ligeramente perturbated órbitas alrededor de esa órbita circular, la cual puede ser calculada mediante la ampliación de la potencial como una serie de Taylor alrededor de $(r,z)=(r_g, 0)$. Habrá movimientos en el $(r,z)$ plano, que no impactan en el disco gracias a la $r_g>a$ y lo suficientemente pequeño como una perturbación, combinado con una rotación de dicho plano, como ya se indicó anteriormente.
El potencial de un disco plano es una bestia, la participación de las integrales elípticas [1, eqn (14)]. Como un servicio para aquellos que no tienen acceso a pagado revistas, y también para dar una idea de la dificultad, he reproducido las fórmulas de continuación. Aquí está un gráfico de contorno del potencial efectivo para $a=1$ y un valor elegido de $L$ (el más claro sea el color, mayor es el potencial): es evidente que existe una profunda mínimo de $(r,z)\approx(2.5\,a, a)$.
![enter image description here]()
La fórmula del potencial
Para un disco de radio $a$ y densidad uniforme $\sigma$,
$$\Phi(r,z)=2G\sigma\left(\pi|z|-d(r,z)E(k)-\frac{a^2-r^2}{d(r,z)}K(k)-\frac{a-r}{a+r}\frac{z^2}{d(r,z)}\Pi(n^2,k)\right)$$
donde
$$\begin{align}
d(r,z)&=\sqrt{z^2+(a+r)^2}\\
k^2 &= \frac{4ar}{d(r,z)^2}\\
n^2 &=\frac{4ar}{(a+r)^2},
\end{align}$$
y donde $K$, $E$ y $\Pi$ son los integrales
$$\begin{align}
K(k)&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}},\\
E(k)&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi},\\
\Pi(n^2,k)&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\varphi}{(1-n^2\sin^2\varphi)\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}.\\
\end{align}$$
1 Harry Lass y León Blitzer. El potencial gravitacional debido a los uniformes de los discos y de anillos. La Mecánica Celeste, 30:225 A 228, 1983.
