¿Cómo puede explicar este paso de cálculo para evitar la deducción de puntos por profesor?

Question

Resolver el problema de valor inicial: $y'+2y=e^{-x}$ $y(0)=4$

Nuestro maestro me dio un error / claro marca en la parte que voy a marcar en rojo aquí. Pero no entiendo por qué y yo ya no tengo la oportunidad de preguntarle a él.

Este es un extracto de mi solución (que conduce a la solución correcta):

$$e^{2x} \cdot \frac{dy}{dx} + e^{2x} \cdot 2y = e^{2x} \cdot e^{-x} \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \color{red}{\frac{d}{dx} \cdot e^{2x} \cdot y} = e^{x} \Leftrightarrow$$

$$\int{\frac{d}{dx} \cdot e^{2x} \cdot y} \text{ } dx = \int{e^x} \text{ } dx$$

$$...$$

No entiendo, es una explicación que aquí se necesita realmente? Así que me tomé ese $y$ $\frac{dy}{dx}$ y escribió al final del término, y ahora tenemos a $\frac{d}{dx}$ en la parte delantera. $\frac{d}{dx}$ significa que "la derivada de.." (lo que viene después). Y teniendo que derivado, vamos a conseguir lo que teníamos antes (la línea antes de la marcada en rojo la línea), por lo que son iguales el uno al otro.

Pero, ¿cómo explicar que (en papel) de una manera razonable? No sé si mi explicación es buena.

Edit: Cuando me lo entregó, he utilizado los soportes. La razón por la que consiguió el punto deducción es "¿cómo llegar de aquí a allá?" (primera línea de la línea roja).

Answer 1

No puedo decidir si ofrecer mi opinión (como profesor) como una respuesta, o a votar a cerrar debido a que es imposible saber de su maestro justificación. Supongo que la primera.

Hay un poco de ambigüedad en la escritura de $\frac{d}{dx}\cdot e^{2x} \cdot y$ en el lado izquierdo de su destacó la ecuación. Normalmente no nos multiplicar ($\cdot$) por el operador $\frac{d}{dx}$. Creo que quiso decir que la derivada se aplica al producto $e^{2x} \cdot y$. Yo prefiero que ser escrito como $\frac{d}{dx}\left(e^{2x}\cdot y\right)$.

Segundo punto, y no tiene que ver con su notación (que, como usted dice en su edición, no fue como lo fue en la presentación original). Si este problema se asigna en un momento en que usted acaba de aprender a resolver lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias con el factor de integración, también podría ser el maestro quiere mostrar un par de pasos más. Una vez que pasar a otros nuevos temas, esta técnica se convierte en rutina, y los pasos pueden ser omitidos. Pero en cierto sentido, usted necesita demostrar que usted puede llenar en los pasos antes de que sea otorgado el privilegio de omitir los pasos.

Lo admito, es posible que estas razones no tienen nada que ver con la deducción. También podría ser un simple error por parte del instructor. Pero me suelen pedir a los estudiantes a escribir claro, explicó respuestas, y esta respuesta carece de claridad en la notación y, posiblemente, podría (dependiendo del contexto) se quedan cortos de las expectativas para la explicación. Tenga en cuenta que obtener la respuesta correcta no es el único objetivo de aprendizaje que su profesor tiene para usted. Ser capaz de comunicarse matemáticamente, el uso de símbolos correctamente, y justificar los pasos, también es parte del aprendizaje.

Answer 2

Me tomó un minuto o dos para "descifrar" cómo lo había conseguido desde la primera línea a la segunda línea, sobre todo porque yo no estaba seguro de si se aplica una operación a ambos lados de la ecuación, o simplemente la manipulación de los dos lados de forma independiente.

Para una respuesta por escrito en el "quick" de estilo, creo que esta sería una buena manera de escribir esta manipulación:

$$e^{2x} \cdot \frac{dy}{dx} + e^{2x} \cdot 2y = e^{2x} \cdot e^{-x}$$

Reorganizar LHS y simplificar RHS:

$$e^{2x} \cdot \frac{dy}{dx} + 2 e^{2x} \cdot y = e^x$$

Aplicar la regla de la cadena y la regla del producto a la inversa:

$$e^{2x} \cdot \frac{dy}{dx} + \frac{d}{dx} (e^{2x}) \cdot y = e^x$$ $$\frac{d}{dx} (e^{2x} \cdot y) = e^x$$

Answer 3

En primer lugar, algunos paréntesis estaría bien. No está claro si te refieres a

$$\frac{d}{dx}\left(e^{2x}\right)\cdot y$$

o $$\frac{d}{dx}\left(e^{2x}\cdot y\right)$ $

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En segundo lugar, alguna mención de la regla de producto sería claro para el profesor donde tenes la idea de ir de línea $1$ $2$ de la línea.