Cómo determinar las medidas del arco de ángulos entre la secante y tangente (sin trigonometría)

Question

Dado un círculo, un punto de $H$ fuera del círculo, segmentos de $\overline{HE}$ $\overline{HT}$ tangente al círculo en$E$$T$, respectivamente, y los puntos de $I$ $G$ sobre el círculo que $I$, $G$, y $H$ son colineales (todos como se muestra arriba), conocer las medidas de $\angle EHG$ y $\angle GHT$ (llamarlos $\alpha$$\beta$, respectivamente, para mayor comodidad) determina las medidas de cada uno de los cuatro arcos en el círculo.

Es posible calcular las medidas de los arcos menores $EI$, $IT$, $TG$, y $GE$ en términos de $\alpha$ $\beta$ sin el uso de la trigonometría?

Answer 1

No hay solución sin funciones trigonométricas inversas, porque cualquier geométricas elementales argumento sería, para un valor dado del ángulo entre la tangente líneas, calcular todos los 4 longitudes de arco como funciones lineales de $\alpha$. Esto implicaría que, como el (secante) de la línea a través de $H$ es que gira a velocidad angular uniforme, se barre arclength en el círculo a una tasa uniforme. Pero esto es imposible porque la distancia de $H$ a, el punto de intersección, $|HG|$, no es constante. No es difícil hacer este argumento riguroso utilizando el cálculo.

Si los arcos, en el orden en que aparecen en la pregunta, se denotan $A, B, b, a$, luego elementales de geometría ¿express $(A-a)$, $(B-b)$, y $(A+B+b+a)$ como funciones lineales de $\alpha, \beta$$1$, como en las otras soluciones. Creo que este conjunto de 3 ecuaciones con 4 incógnitas es lo que el OP quiere decir "no basta ecuaciones" para resolver todo lo puramente geométrica.

Answer 2

Estoy dentro de uno, así que espero que impulsa su pensamiento. Geometría básica fue muchos años atrás. Los teoremas que recuerdo son $\stackrel{\frown}{EGT} = 2\angle EIT$, $\beta=(\stackrel{\frown}{IT} - \stackrel{\frown}{TG})/2$ y $ET=\pi-\alpha-\beta$, que se puede ver en radios a partir de E y T y la línea de H en el centro del círculo. Entonces si tenemos $\angle EIG=\gamma$ $EG=2\gamma, GT=\pi-\alpha-\beta-2\gamma, TI=\pi-\alpha+\beta-2\gamma, IE=2\gamma+2\alpha$

Answer 3

Con trig, me sale que los arcos tienen medida $\theta \pm \alpha$$\pi - \theta \pm \beta$, donde $$\cos\theta = \frac{\sin\frac{\beta-\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha+\beta}{2}} = \frac{\cos\beta-\cos\alpha}{1-\cos\left(\alpha+\beta\right)}$$

Por el "arco / cerca de arco del" principio, $\stackrel{\frown}{EI}-\stackrel{\frown}{EG} = 2\alpha$, así que podemos escribir $\stackrel{\frown}{EI} = \theta+\alpha$$\stackrel{\frown}{EG}=\theta-\alpha$.

Vamos a ir a la analítica ...

Deje que el círculo de radio $1$, con su centro, $O$, en el origen, y que $H$ mentira en lo positivo $x$-eje. En el cuadrilátero $OEHT$, los ángulos en $E$ $T$ son ángulos rectos, y el ángulo en el $H$ tiene una medida de $\alpha+\beta$, de modo que el ángulo en el $O$ tiene una medida de $2 \gamma := \pi-(\alpha+\beta)$. Por lo tanto, $\angle HOE = \gamma$$|OH| = \sec\gamma$. Mueve alrededor del círculo por arcos de $\theta \pm \alpha$ $E$ nos a$I$$G$, y determinar las coordenadas de estos puntos, escribir "$\rm{cis}\cdot$""$(\cos\cdot,\sin\cdot)$":

$$I = \rm{cis}\left(\gamma + ( \theta + \alpha )\right) = \rm{cis}\left(\gamma+\alpha+\theta\right)$$ $$G = \rm{cis}\left(\gamma-(\theta-\alpha)\right) = \rm{cis}\left(\gamma+\alpha-\theta\right)$$

Desde $H$, $G$, y $I$ son colineales, debemos tener igualdad de las pendientes de los segmentos $HI$$HG$:

$$\frac{ \sin(\gamma+\alpha+\theta) }{ \cos(\gamma+\alpha+\theta)-\sec\gamma } = \frac{ \sin(\gamma+\alpha-\theta) }{ \cos(\gamma+\alpha-\theta)-\sec\gamma }$$

Por lo tanto,

$$\sin(\gamma+\alpha+\theta)\left(\cos(\gamma+\alpha-\theta)-\sec\gamma\right) = \sin(\gamma+\alpha-\theta) \left( \cos(\gamma+\alpha+\theta)-\sec\gamma\right) $$

$$\begin{eqnarray*} &&\sin(\gamma+\alpha+\theta)\cos(\gamma+\alpha-\theta)- \sin(\gamma+\alpha-\theta) \cos(\gamma+\alpha+\theta) \\ &=& \sec{\gamma} \; \left( \sin(\gamma+\alpha+\theta) -\sin(\gamma+\alpha-\theta) \right) \\ \sin 2\theta &=& 2 \sec{\gamma} \; \sin \theta \cos\left(\gamma+\alpha\right) \\ 2 \sin\theta \cos\theta &=& 2 \sec{\gamma} \; \sin \theta \cos\left(\gamma+\alpha\right) \end{eqnarray*}$$ Si $\theta\ne 0$ $\theta \ne \pi$ [ * ], entonces podemos cancelar $\sin\theta$ y el acabado: $$\begin{eqnarray*} \cos\theta &=& \frac{\cos\left(\gamma+\alpha\right)}{\cos\gamma} = \frac{\cos\frac{\pi+\alpha-\beta}{2}}{\cos\frac{\pi-(\alpha+\beta)}{2}}= \frac{\sin\frac{\beta-\alpha}{2}}{\sin\frac{\alpha+\beta}{2}} \\ \end{eqnarray*}$$

Sin duda hay un camino para llegar a este resultado sin el uso de coordenadas y de las pendientes (me dio pereza), pero si hay una manera de llegar allí "sin el uso de la trigonometría", yo no estoy viendo.

Edit. Sólo voy a señalar que, si $F$ es el pie de la perpendicular desde el centro del círculo para el segmento de $HI$, luego

$$\frac{|OF|}{|OE|}=\frac{|OH| \sin\angle FHO}{|OH|\sin\angle EHO}=\frac{ \sin\frac{\alpha-\beta}{2}}{\sin\frac{\alpha+\beta}{2}}=\cos\left(\pi-\theta\right)$$

Además, hay puntos de $P$ $Q$ sobre el círculo, con $P$$\stackrel{\frown}{IE}$$G$$\stackrel{\frown}{QE}$, de tal manera que $\stackrel{\frown}{IP} = \stackrel{\frown}{GQ} = \alpha$, de donde $\stackrel{\frown}{PE}=\stackrel{\frown}{QE}=\theta$. Así, todos los componentes de la relación final aparecen en la figura en algún lugar. No he mirado lo suficientemente duro como para determinar si es posible "ver" la relación geométricamente. Final de edición.

[*] Si $\theta = 0$, $\alpha$ sí debe ser $0$ (de modo que $\theta-\alpha$ es un valor no negativo arco de medida), con $I$ $G$ coincidiendo con $E$. Asimismo, $\theta = \pi$ implica $\beta = 0$, $I$ $G$ coincidiendo con $T$. El análisis de estos casos es sencillo, con la misma fórmula resultante como en el caso general.