Aclaración sobre la desigualdad de Jensen

Question

Estoy trabajando en algunas desigualdades de competencia utilizando algunos de los teoremas de desigualdad que acabo de aprender. Estoy tratando de demostrar:

$$ \frac{a}{\sqrt{a^2 + 8bc}} + \frac{b}{\sqrt{b^2 + 8ca}} + \frac{c}{\sqrt{c^2 + 8ab}} \ge 1 $$

donde $a$ , $b$ y $c$ son reales positivos. Recientemente he aprendido sobre la desigualdad de Jensen y estoy tratando de aplicarla a este problema. He intentado algo así:

$$ \frac{a\sqrt{a}}{\sqrt{a^3 + 8abc}} + \frac{b\sqrt{b}}{\sqrt{b^3 + 8abc}} + \frac{c\sqrt{c}}{\sqrt{c^3 + 8abc}} \ge 1 $$

y me pregunto si puedo dejar:

$$ f(x) = \frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x^3 + 8p}} $$

(donde $p = abc$ ) y utilizar la desigualdad de Jensen. Dado que $p$ depende de $a$ , $b$ y $c$ ¿ No puedo usar esta función para la desigualdad de Jensen? ¿O porque es una "constante" puedo usarla de todos modos?

He intentado probar esto para la suma:

$$ \frac{a}{bc} + \frac{b}{ca} + \frac{c}{ba} = \frac{a^2}{abc} + \frac{b^2}{abc} + \frac{c^2}{abc} $$

definiendo la función $ f(x) = \frac{x^2}{p} $ . Usando la desigualdad de Jensen me dio un resultado correcto, pero por supuesto esto no es una prueba de que pueda usar este truco en general. ¿Qué opinas?

Gracias.

EDITAR : Me he adelantado a aplicar la desigualdad de todos modos, y resulta que el $ f(x) $ que he definido para el problema es cóncava hacia abajo, por lo que no servirá para demostrar que la suma dada es mayor o igual que otro número. Pero aún así sería bueno saber para futuras referencias si puedo usar este truco.

EDITAR 2 : Perdón por los signos erróneos; ¡ya está arreglado!

Answer 1

Recuerdo cómo lo resolví hace mucho tiempo . Si establecemos $\frac{bc}{a^2}=x,\frac{ac}{b^2}=y,\frac{ab}{c^2}=z$ Tenemos que demostrarlo: $$ \sum_{cyc}\frac{1}{\sqrt{1+8x}}\geq 1 $$ bajo la restricción $xyz=1$ .

Al establecer $u=\sqrt{1+8x},v=\sqrt{1+8y},w=\sqrt{1+8z}$ que nos queda por probar: $$ \frac{1}{u}+\frac{1}{v}+\frac{1}{w}\geq 1 $$ bajo las restricciones $u,v,w\geq 1$ y $(u^2-1)(v^2-1)(w^2-1)=512$ .

Como la media geométrica es superaditiva, tenemos: $$GM(u^2,v^2,w^2)\geq 1+GM(u^2-1,v^2-1,w^2-1) = 9 $$ y por la desigualdad AM-GM se deduce que $u+v+w\geq 9$ . Con el mismo truco, $$ GM(u+1,v+1,w+1)\geq 1+GM(u,v,w) \geq 4,$$ Así que..: $$(u+v+w-1)(u+1)(v+1)(w+1)\geq 8\cdot 4^3 = 512 $$ y explotando la restricción que es equivalente a: $$ u+v+w-1 \geq (u-1)(v-1)(w-1) $$ Así que..: $$ uv+uw+vw \geq uvw $$ como se busca. Para una solución utilizando la desigualdad de Jensen, véase el enlace en los comentarios, o notar que el problema se reduce a probar que $$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+8x}}$$ es una función convexa sobre $\mathbb{R}^+$ . Bastante obvio ya que $f$ es positivo y log-convexo.