Prueba $\chi$ fija dos puntos en la esfera de la unidad.

Question

Que $\chi:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$ ser una transformación ortogonal tal que $\det(\chi)=1$ $\chi$ no es la transformación lineal identidad. Que $S \subset \mathbb{R}^{3}$, ser la esfera de la unidad. Entonces ¿cómo probamos que $\chi$ fija sólo dos puntos de $S$?

¿Alguna idea de procedimiento para la solución?

Answer 1

Una transformación ortogonal con $\det(1)$ es una rotación. Los únicos puntos fijos son el uno en el eje de rotación. Y la intersección de la esfera unidad y el eje de rotación son claramente dos puntos.

Answer 2

1. En primer lugar, convencer a ti mismo que $\operatorname{det}(\chi - I_3) = 0$ (sugerencia: $\operatorname{det}(\chi - I_3) = \operatorname{det}(\chi(I_3 - \chi^T)) = \ldots$). Por lo tanto, $\dim \ker(\chi - I_3) \geq 1$, y, por tanto, $\ker(\chi - I_3)$ contiene un $1$-dimensional en el subespacio, es decir, una línea a través del origen, que se cruza con el de la unidad de la esfera en dos puntos de $v_1$$v_2$. Por lo tanto, $\chi$ correcciones al menos dos puntos.
2. Ahora, supongamos por contradicción que $\chi$ corrige un tercer punto de $v_3 \in S^2$, que por lo tanto no la línea en la misma línea que pasa por el origen como $v_1$$v_2 = -v_1$. A continuación, $\{v_1,v_2\}$ span una $2$-dimensiones subespacio de $\ker(\chi - I_3)$ (por qué?), de modo que $\dim \ker(\chi - I_3) \geq 2$; si $\dim \ker(\chi - I_3) = 3$$\chi = I_3$, lo cual es una contradicción, así que supongamos que en lugar de que $\dim \ker(\chi - I_3) = 2$. Ahora, vamos a $x \in \ker(\chi - I_3)^\perp$ ser distinto de cero, por lo que el $x$ abarca $\ker(\chi - I_3)^\perp$; verificar que$\chi x \in \ker(\chi - I_3)^T$ (sugerencia: para $v \in \ker(\chi - I_3)$, $v = \chi^T \chi v = \chi^T v$). Por lo tanto, $\chi x = \lambda x$ algunos $\lambda \in \mathbb{R}$, por lo que el $\chi$ es diagonalisable con autovalores $1$ (con multiplicidad $2$) y $\lambda$ (con multiplicidad $1$). ¿Por qué hace esto y luego darle una contradicción?

Qué saldrá de esto es que $\ker(\chi - I_3)$ es, de hecho, $1$- dimensional, dando el eje de rotación de $\chi$; entonces, uno puede mostrar que $\chi$ restringido a $\ker(\chi - I_3)^\perp \cong \mathbb{R}^2$ es de hecho no trivial de la rotación.