Ya había visto divisores en curvas, hace unos años en un curso de geometría algebraica. Ahora me he vuelto a encontrar con ellos, pero algo más generalizados. Esperaba que alguien pudiera explicar las similitudes/diferencias entre ambas nociones.
La primera noción (de Curvas Algebraicas de Fulton) dice que para cualquier curva proyectiva irreducible $C$ con un modelo no singular $X$ un divisor en $X$ es una suma formal $$ D = \sum_{P\in X} n_P P$$ donde cada $n_P\in \mathbb{Z}$ y todas, excepto algunas, son 0.
La segunda noción (de la Geometría Algebraica de Milne) dice que para cualquier variedad normal e irreducible $V$ un divisor en $V$ puede escribirse de forma única como una suma finita (formal) $$ D = \sum n_i Z_i,$$ donde el $Z_i$ son las subvariedades irreducibles de $V$ de codimensión 1 (divisores primos).
En el caso generalizado, cuando $V$ es una curva (es decir, de dimensión 1) entonces el $Z_i$ son de dimensión 0, por lo que sólo son puntos de la curva, y todo parece correcto. Pero entonces pasamos al grado de un divisor. En Fulton, el grado de un divisor $\sum_{P\in X} n_P P$ es simplemente la suma de los coeficientes, $\sum_{P\in X} n_P$ . Sin embargo, mediante el ejemplo 12.4 de Milne, la definición de divisor es la siguiente:
Dejemos que $C$ sea una curva. Si $D = \sum n_i P_i$ , entonces el número de intersección $$ (D) = \sum n_i[k(P_i):k].$$ Por definición, es el grado de $D$ .
Ahora bien, no tenemos referencias para mi clase (ya que está por todas partes y requeriría unas 10 como mínimo..), pero así es como definimos el grado de un divisor para una curva en clase (usando la extensión de $k(P_i)$ en $k$ ) y estoy confundido. ¿Esto sugiere que, según la definición de Fulton, tenemos $[k(P_i):k] = 1$ para cada punto? Porque si es así, parece una tontería molestarse en poner eso. Ahora bien, dado que Milne está escribiendo realmente el número de intersección, me pareció que podía dejar implícito que el $[k(P_i):k]$ son 1. Sin embargo, en clase, simplemente dijimos que un divisor es bla y su grado es blahh utilizando el grado de las extensiones, ¡así que debe haber algo no trivial aquí!
Ahora bien, lo único que no he tenido en cuenta del todo arriba, es el hecho de que en Fulton, una curva sobre un campo $k$ es un conjunto de puntos en $k^n$ mientras que Milne utiliza variedades algebraicas, con las que no estoy muy versado. Sin embargo, Milne hace notar el hecho de que existe una correspondencia uno a uno entre los ideales máximos de $k[V]$ y un conjunto de puntos de $V$ Así que esperaría, para cada $P_i$ en la definición de Fulton, existe un ideal máximo correspondiente, por lo que un divisor debe ser idéntico, excepto que se sustituya cada $P_i$ con el ideal máximo correspondiente.
Algo más preocupante, al principio pensé que era obvio y no le di importancia, pero en retrospectiva, lo que es $[k(P_i):k]$ ? Si $P_i$ es una subvariedad de codimensión 1, para una curva definida sobre $k$ Entonces, ¿cómo es posible que esto no tenga que ser 1? Si no hay nada más, también agradecería cualquier referencia adicional para estos divisores generalizados en curvas (¡aunque me gustan los apuntes de Milne!). ¡Gracias!
