Mi pregunta es: ¿Cuál es el efecto de trenzado de , por ejemplo, anyon 1 con anyon 2 en la dimensión? ¿Cuál es el efecto de un giro?
Respuesta corta: Ninguna. Considerar que para anyons $N_{ab}^c=N_{ba}^c$ y que torcer la realidad, es solo un trenzado con algunas cosas especiales.
Respuesta larga: En orden para que esto tenga sentido, tenemos que cavar un poco más profundo y claro algunos de los escombros de ir a través de la TQFT detalles y llegar a una forma más concisa descripción de anyons y cómo lidiar con ellos. Algebraicamente, anyons son descritos por los llamados modular tensor de categorías, o a veces modular categorías para el corto. Ir a través de los detalles de cómo llegar de uno a otro es complicado (yo recomiendo esto como un punto de partida para la exploración - específicamente la sección relativa CS para la Reshetikin-Turaev de la construcción, así como este para llegar al corazón de la cuestión. Para una descripción más completa de la descripción algebraica de anyons, consulte el apéndice E de Kitaev del papel aquí. Kitaev del papel es un favorito personal y muy imitado.)
Para aquellos que se lo puede tomar en la fe que han dicho más arriba es correcto, pero preferiría no slog a través de las cosas para encontrar las definiciones pertinentes, necesitamos un par de cosas:
Una categoría $\mathcal C$ se compone de dos cosas: Una colección de objetos de $\mathcal C_0$. Para un sistema modular de categoría, esta es una colección finita de conjunto. La segunda cosa es que para cada par de objetos de $x,y\in \mathcal C_0$, tenemos una colección de $C_1(x,y)$ de los mapas (llamado hom-espacios) de $x$$y$, es decir, las funciones de $f:x\rightarrow y$.
Para el caso de una construcción modular de la categoría, estos hom espacios son finitos tridimensional de espacios vectoriales, y en particular modular categorías de física de interés son llamados unitarios y estos incluyen una opción de producto interior el hacer de ellos espacios de Hilbert. El ejemplo más simple de un sistema modular de categoría es en realidad la categoría de finito dimensionales complejo de espacios vectoriales. Los objetos son FDC espacios vectoriales y los mapas son lineales mapas entre ellos (que sabemos que también forman espacios vectoriales).
Un monoidal categoría es una categoría que también tiene una forma de "multiplicar" dos objetos juntos. Modular categorías tienen muy agradable propiedad que haciendo esto nos da de nuevo una "suma" de los llamados "objetos simples." Dado que ya hemos mencionado $Vec_\mathbb C$, lo que significa que por estas dos cosas, es bastante simple: la multiplicación es el producto tensor de espacios vectoriales y la suma es la suma directa de espacios vectoriales. Lo que nuestra declaración de arriba, a continuación, se traduce es que el producto tensor de finito dimensionales espacios vectoriales se descompone como suma directa de una dimensión compleja de espacios vectoriales (que ya sabía). En este caso, entonces, sólo tenemos un objeto simple: $\mathbb C$. En general, podemos pensar en nuestros objetos simples como los tipos de anyons.
Ahora vamos a pensar en el hom-espacios. La descomposición de nuestro producto $a\otimes b$ en una suma de algunos $c$'s nos da los mapas de uno a otro, y así para cada una de las $\{a,b,c\}$ como tenemos encima un espacio de Hilbert $\mathcal C_1(a\otimes b,c)$. Estos son precisamente la fusión de los espacios y sus dimensiones son de $N_{ab}^c$. Estos coeficientes de satisfacer la Verlinde fórmula, a pesar de cómo la obtenemos de todo esto nos llevaría lejos del tema de esta respuesta.
Si pensamos acerca de varias fusiones, podemos extender nuestras ideas sobre espacios vectoriales de la misma manera: Si yo tensor de tres espacios vectoriales juntos, dos cosas deben suceder:
- Los resultados de tensoring los dos primeros, a continuación, la segunda debe ser isomorfo a tensoring la segunda y luego la primera.
- Debido a esto, nuestro semi-simplicidad (que tensores descomponer en sumas), y el hecho de que nuestros hom-espacios son espacios vectoriales, debemos tener $$\mathcal C_1(a\otimes b\otimes c, d)=$$ $$\bigoplus \mathcal C_1(a\otimes b,e)\bigotimes \mathcal C_1(e\otimes c,d)\cong \bigoplus \mathcal C_1(b\otimes c, f)\bigotimes \mathcal C_1(a\otimes f, d).$$ Thus $$\sum_e N_{ab}^e N_{ec}^d = \sum_f N_{bc}^f N_{af}^d.$$ El isomorfismo entre estos dos descomposiciones (que constituyen dos opciones diferentes de base) es unitaria y dónde obtenemos nuestros F-matrices.
Ahora que tenemos nuestro fusión de espacios, necesitamos saber lo que es un trenzado. Ya he mencionado que una categoría monoidal tiene una noción de producto, nuestra trenzado puede ser pensado como una noción de que el producto que se conmutativa, que es $a\otimes b \cong b\otimes a$ en alguna manera. Los detalles de esto se va a exigir que nuestros hom espacios isomorfos aunque, es decir,$\mathcal C_1(a\otimes b, c)\cong \mathcal C_1(b\otimes a,c)$. Por lo tanto, debemos tener ese $N_{ab}^c=N_{ba}^c$. Puesto que estamos interesados en situaciones físicas, nuestro trenzado es entonces sólo una matriz unitaria $R_{ab}^c$ con lados de longitud $N_{ab}^c$ de los que tomaron $\mathcal C_1(b\otimes a, c)\rightarrow \mathcal C_1(a\otimes b,c)$.
A partir de esto, conseguimos que nuestro cambio de la matriz para dos anyons a y b es la suma directa de nuestras matrices $R_{ab}^c$. Pero nuestro R-matrices son isomorphisms, por lo que nuestra suma directa es un isomorfismo, y de modo que las dimensiones no se puede cambiar.
Teniendo esto, vamos a pensar en una vuelta de tuerca. Una cosa que no hemos tenido que lidiar con, hasta ahora, es donde anyons y como que el modelo en nuestro modular de la categoría, pero eso es bastante simple. Para un determinado objeto simple (anyon tipo) $a$, el objeto simple (anyon tipo) $a^{*}$ tal que $N_{a a^{*}}^0\neq 0$ se conoce como el doble. Desde un punto de vista físico, podríamos llamar a esto la antipartícula de $a$. Porque nuestra categoría es unitario, se obtiene gratis que $(a^{*})^{*}=a$. Así que tenemos una opción de creación de operadores: $\mathbb C \rightarrow a^{*}\otimes a$$\mathbb C \rightarrow a \otimes a^{*}$. Del mismo modo tenemos dos opciones de aniquilación del operador.
Poniendo las cosas juntos, entonces - y la omisión de algunos de los más importantes, sino, potencialmente, la oclusión de los detalles - podemos pensar en una vuelta de tuerca en un anyon $a$ tener $a$, la creación de una $a^{*}\otimes a$ par a la izquierda de la misma, trenzando las dos copias de $a$ y, a continuación, aniquilando. La dimensionalidad de nuestro sistema al comienzo y al final del proceso es la misma de nuevo.
