¿Por qué es que $2^{10} + 2^{9} + 2^{8} + \cdots + 2^{3} + 2^2 + 2^1 = 2^{11} - 2$ ?

Question

¿Por qué es que $$2^{10} + 2^{9} + 2^{8} + \cdots + 2^{3} + 2^2 + 2^1 = 2^{11} - 2?$$

Answer 1

$\begin{eqnarray}{\bf Hint} &&\ \ \underbrace{2^{11}} \\ \,&=&\ \ \overbrace{2^{10} + \underbrace{2^{10}}}\\ \,&=&\ \ 2^{10} + \overbrace{{2^9+\underbrace{2^9}}}\\ \,&=&\ \ 2^{10} + 2^9+\overbrace{2^8+\underbrace{2^8}}\\ \,&=&\ \ 2^{10} + 2^9+2^8+\overbrace{2^7+2^7}\\ \,&&\qquad\qquad\ \ \vdots\qquad\qquad\qquad\ddots \end{eqnarray}$
También podemos escribirlo en forma telescópica

$\ \begin{eqnarray} \color{#c00}{2^{11}-2^k} = \underbrace{\phantom{2^11 - 2^10}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\color{#c00}{2^{11}}}&&\overbrace{{-2^{10}} +\underbrace{\phantom{2^10 - 2^9}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!2^{10}}^{=\, 0}&&\overbrace{-2^9 +\underbrace{\phantom{2^9 - 2^8}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!2^9}^{=\,0}&&\overbrace{-2^8 + 2^8}^{=\,0} \cdots \overbrace{-2^{k+2} + \underbrace{\phantom{2^{k+2} - 2^{k+1}}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!2^{k+2}}^{=\, 0}&&\overbrace{-2^{k+1}+\underbrace{\phantom{2^{k+1} - 2^{k}}}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!2^{k+1}}^{=\,0}&&\color{#c00}{-2^k}\\ &&\!\!2^{10}\quad\, + &&\!\!2^9\quad\, + &&\!\!2^8\quad +\quad\ \cdots\qquad + &&\!\!\!\!2^{k+1}\quad\ \ + &&\!\!\!2^k \end{eqnarray}$

Answer 2

Intenta ver los términos en binario:

  2^10   10000000000
  2^9     1000000000
  2^8      100000000
  2^7       10000000
  2^6        1000000
  2^5         100000
  2^4          10000
  2^3           1000
  2^2            100
+ 2^1             10
---------------------
=        11111111110

+   2             10
=       100000000000 = 2^11

Answer 3

Dejemos que $S = 1+2^1+2^2+...+2^{10}$

Multiplicar por 2

$2S = 2^1+2^2+2^3+...+2^{11}$

Restrinja lo primero de lo segundo:

$S = 2^{11}-1$

$1+2^1+2^2+...+2^{10} = 2^{11}-1$

Answer 4

$$2^{10} + 2^{9} + 2^{8} +2^7+2^6+2^5+2^4+ 2^{3} + 2^2 + 2^1 = 2^{11} - 2$$

Añadir $(2-2)$ a la izquierda, obteniendo:

$$\begin{align} 2^{10} + 2^{9} + 2^{8} + 2^7+2^6+2^5+2^4 + 2^{3} + 2^2 + 2^1 \color{green}{+ 2 - 2} & = 2^{11} -2 \\ 2^{10} + 2^{9} + 2^{8} + 2^7+2^6+2^5+2^4 + 2^{3} + 2^2 + \color{maroon}{2^1 + 2^1} - 2 & = 2^{11} -2 \end{align}$$

Desde $2^1 + 2^1 = 2\cdot(2^1) = 2^2$ el lado izquierdo se simplifica a:

$$2^{10} + 2^{9} + 2^{8} +2^7+2^6+2^5+2^4+ 2^{3} + \color{maroon}{2^2 + 2^2} - 2 = 2^{11} - 2$$

Desde $2^2 + 2^2 = 2\cdot(2^2) = 2^3$ el lado izquierdo se simplifica a:

$$2^{10} + 2^{9} + 2^{8} + 2^7+2^6+2^5 + 2^{4} + \color{maroon}{2^3 + 2^3} - 2 = 2^{11} - 2$$

Repite esta simplificación varias veces más:

$$2^{10} + 2^{9} + 2^{8} + 2^7+2^6+2^5 + \color{maroon}{2^4 + 2^4} - 2 = 2^{11} - 2 \\ \\ \vdots \\\color{maroon}{2^{10} + 2^{10}} - 2 = 2^{11} - 2\\ \color{maroon}{2^{11}} - 2= 2^{11} - 2$$

Answer 5

He aquí un argumento alternativo que utiliza el hecho de que un conjunto de $n$ elementos tiene $2^n$ subconjuntos. Considere los subconjuntos $S$ del conjunto $\{0,1,2,\dots,9,10\}$ . Como este conjunto tiene 11 elementos, tiene $2^{11}$ subconjuntos. Ahora pregunte, para cada $n$ en el rango $0\leq n\leq 10$ ¿Cuántos de estos subconjuntos $S$ tienen $n$ como su mayor elemento. Pues bien, cualquier $S$ consiste en el elemento $n$ junto con algún subconjunto $S'$ de $\{0,1,\dots,n-1\}$ . Así que hay $2^n$ opciones para $S'$ . Así, $n$ es el mayor elemento de exactamente $2^n$ subconjuntos $S$ de $\{0,1,2,\dots,9,10\}$ . Por lo tanto, la suma $2^{10}+2^9+\dots+2^2+2^1$ cuenta todos los subconjuntos $S$ de $\{0,1,2,\dots,9,10\}$ cuyo mayor elemento es 10 o 9 o $\dots$ o 2 o 1. Eso significa que cuenta todos los $2^{11}$ subconjuntos $S$ de $\{0,1,2,\dots,9,10\}$ excepto dos, el conjunto vacío y el conjunto $\{0\}$ . Así que la suma es $2^{11}-2$ .