Este es el problema:
Demuestre o refute la siguiente afirmación:
Si $f:[0,+\infty]\rightarrow\mathbb{R^+}$ es una función Lipschitz y no acotada, entonces tiene necesariamente $\lim_{x\to+\infty} f(x) = +\infty$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Dejemos que $$ T(x)=1-2\,|1-x|,\quad 0\le x\le1 $$ sea el tienda de campaña función. Ahora defina $f$ como $f(x)=0$ si $0\le x\le1$ y $$ f(x)=2^nT(2^{-n}(x-2^n))\quad \text{if}\quad 2^n\le x\le2^{n+1}. $$ 
$f$ es Lipsthitz con constante $2$ sin límites, y $f(2^n)=0$ para todos $n$ para que $f(x)\not\to\infty$ . Si quieres $f$ para ser estrictamente positivo, basta con tomar $f(x)+1$ .
Jay Stramel
Puntos
1265
He aquí un ejemplo bastante sintético: $$f(x) = \begin{cases} \phantom{-}0 & 0 \leq x \leq 1 \\ \phantom{-}2(x - 1) & 1 \leq x \leq 2 \\ -2(x - 2) + 2 & 2 \leq x \leq 3 \\ \phantom{-}2(x - 3) & 3 \leq x \leq 6 \\ -2(x - 6) + 6 & 6 \leq x \leq 9 \\ \phantom{-}\dots & \\ \phantom{-}2(x - 3^n) & 3^n \leq x \leq 2\cdot 3^n \\ -2(x - 2\cdot 3^n) + 2\cdot 3^n & 2\cdot 3^n \leq x \leq 3^{n + 1} \end{cases}$$ Si mis números son correctos, esto debería moverse en forma de diente de sierra entre $y = 0$ y $y = x$ con pendiente $\pm 2$ y, por tanto, es una función Lipschitz no limitada con valores positivos. Sugiere la siguiente versión suave: $$g(x) = x \sin^2 (1 + x)^{-1/3}.$$ Tenemos $$g'(x) = \sin^2 (1 + x)^{-1/3} - \frac{1}{3} x(1 + x)^{-4/3} \sin 2(1 + x)^{-1/3},$$ que está acotado, por lo que $g$ es Lipschitz, y $g$ no tiene límites, ya que $\sin^2 (1 + x)^{-1/3} \sim (1 + x)^{-2/3}$ como $x \to \infty$ que se ve superado por el factor de $x$ .
Considero que el ejemplo sintético es más convincente que el ejemplo liso, a pesar de lo compacto de la fórmula. Demuestra que aunque no se pueda encontrar un ejemplo, es posible construir uno imaginando cómo sería; como demuestran las respuestas anteriores, ahora borradas, puede ser bastante complicado conseguir que una fórmula "simple" funcione en términos de cálculo.
