En la página 134, divisores Weil, ejemplo 6.5.2, dijo: "El divisor de $y$ es $2Y$, porque $y=0$ implica $z^2=0$, y $z$ genera el ideal maximal del anillo local en el punto genérico de $Y". Fui estúpido y no puedo entender esto. ¿Alguien puede darme un cálculo sencillo acerca de cuál es el punto genérico de $Y$ (representado usando ideales primos), y cuál es el anillo local en el punto genérico de $Y? Además, si se te da un subconjunto cerrado de $X$, cortado por varios polinomios, ¿cómo puedes calcular el punto genérico de este subconjunto de una sola vez?
Respuesta
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$\bullet$ El anillo de coordenadas del cono es $k[\rm{ X, Y ,Z}] / (XY - Z^2)$ ;
$\bullet$ El ideal primo que representa a $\rm Y$ es $\mathfrak p = \rm (Y, Z)$ ;
entonces el anillo local que deseas es $(k[\mathrm{X, Y, Z}]/\rm (XY-Z^2))_{(Y,Z)}.
Ahora en este anillo local $\rm X$ es invertible y $\rm XY - Z^2 = 0$ lo que implica que $\rm Y = X^{-1} Z^2$;
por lo tanto el ideal maximal $\mathfrak p (k[\mathrm{X, Y, Z}]/(\rm XY - Z^2))_{\mathfrak p}$, que por definición está generado por $\rm Y$ y $\rm Z$, está generado solo por $\rm Z$.
