¿Cómo calcular el trabajo realizado cuando el movimiento no está en la dirección de la fuerza?

Question

Yo estaba tratando de resolver este problema:

pero yo encountred un problema mientras yo estaba tratando de evaluar el trabajo realizado por $F$ $AB$ que es:

$$ W= \int_{A}^{B} \vec{F}\cdot d\vec{s} $$

pero, ¿cómo calcular este tipo de integral? Intenté cambiar la variabe $d\vec{s}$$ Rd\theta$: $$W= \int_{0}^{\pi/6} FR ~d\theta $$

pero no hay una función de $\theta$ dentro de la integral, así como evaluar esta integral?

Answer 1

Olvidó la unidad vector $[-\sin\theta,\cos\theta]$ a lo largo de la ruta. En tu integral $W= \int_{0}^{\pi/6} F\cdot R ~d\theta $, reemplace $F \cdot R ~d\theta$ $R F\cdot [-\sin\theta,\cos\theta] ~d\theta$ y listo ($F\cdot [-\sin\theta,\cos\theta] = -F_1\sin\theta+F_2\cos\theta$ para $F=[-F_1,F_2]$.)

Answer 2

Una partícula se mueve entre los puntos de $\:\mathrm{A}\:$ $\:\mathrm{B}\:$ de una curva de $\:C\:$ y una constante de fuerza de $\:\mathbf{F}\:$ se aplica continuamente en ella. El trabajo realizado por $\:\mathbf{F}\:$ entre los puntos de $\:\mathrm{A}\:$ $\:\mathrm{B}\:$ es ...

En El Avión

En El Espacio

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OP pregunta : esto significa que el trabajo hecho a lo largo de AB es igual al trabajo realizado sobre la púrpura de la ruta de acceso en la siguiente Figura? Respuesta : No, el trabajo hecho a lo largo de AB es igual al trabajo hecho a lo largo de la ruta verde AB', la proyección de la curvilínea órbita (aquí: arco circular) AB en la dirección de la fuerza constante $\:\mathbf{F}\:$. Esto es válido para el constante vector de fuerza. Si la fuerza no es constante en magnitud y/o la dirección, a continuación, usted debe estudiar acerca de las integrales de línea.

La púrpura de la ruta AB (segmento) es la integral : $$ \int\limits_{\rm{arc\:AB}} \mathrm{d}\mathbf{s} $$

Answer 3

Aquí $\vec{F} \cdot d\vec{s} = FR d\theta \cos(\pi-\theta)$. Porque cuando el objeto está en el ángulo $\theta$ de la vertical, el ángulo entre $\vec{F}$y $d\vec{s}$ es $(\pi-\theta) $. Consulte el diagrama a continuación (ds es exagerado):

Ahora se trata se puede integrar fácilmente usando $\cos(\pi-\theta ) = -\cos\theta $. Pero los límites que has escrito mal, $\frac{\pi} {6} $ debe ser el límite inferior y 0 ser superior.