Submodelos elementales en teoría de conjuntos

Question

Estaba leyendo el siguiente resumen de primaria submodelos:

http://boolesrings.org/mpawliuk/2012/01/26/a-practical-guide-to-using-countable-elementary-submodels/

Decir $M\prec N$. El enlace de arriba indica (Super Útiles Hecho) de que cualquier conjunto definible por parámetros en $M$ es un elemento de $M$. En particular, vamos a $\phi(v_1,v_2)$ ser una de primer orden de la fórmula de la teoría de conjuntos. Mi interpretación de esto es que, si $x\in M$$\{t: t\in N\wedge \phi(x,t)\}\in N$,$\{t: t\in M\wedge \phi(x,t)\}\in M$. Lo que me pregunto es si podemos garantizar que $\{t: t\in M\wedge \phi(x,t)\}\subset M$. Como una de primer orden de la frase, tenemos

($\exists z) \ (\forall t)t\in z\leftrightarrow(\phi(x,t))$

Suponiendo que esto es satisfecho por $N$, debe ser satisfecho por $M$ desde $M\prec N$. En particular, existe $z'\in M$ tal que $(\forall t\in M)t\in z'\leftrightarrow(\phi(x,t))$. Ciertamente, $z'$ es un subconjunto de la clase que queremos, pero tal vez contiene elementos que no son en $M$. Podemos garantizar que $z'\subset M$?

Answer 1

Todo esto viene a partir de la definición de primaria, y es un poco más delicado de lo que usted podría pensar.

Modelo teóricamente, un modelo de $M$ es un elemental submodel de un modelo de $N$ si $M$ es un submodel de $M$ (el universo de $M$ es un subconjunto de la de $N$, y todas las interpretaciones de la función/predicado/constante símbolos son sólo las restricciones de los de $N$), y cada declaración acerca de los elementos de $M$ que es verdad en $N$ fib es cierto en $M$; lo que significa que, dada una fórmula $\varphi ( x_1 , \ldots , x_n )$ y $a_1 , \ldots , a_n \in M$, $$M \models \varphi ( a_1 , \ldots , a_n ) \Leftrightarrow N \models \varphi ( a_1 , \ldots , a_n ).$$

Ahora si $M$ es un (contables) primaria submodel de $H$ (para algunos, de un modelo adecuado fragmento de $\mathsf{ZFC}$) y existe una fórmula $\varphi ( x, x_1 , \ldots , x_n )$ y elementos $a_1 , \ldots , a_n \in M$ tal que $$H \models ( \exists z ) ( \forall u ) ( u \in z \leftrightarrow \varphi ( u , a_1 , \ldots , a_n ) ), \tag{1}$$ then this statement must also be true in $M$, namely $$M \models ( \exists z ) ( \forall u ) ( u \in z \leftrightarrow \varphi ( u , a_1 , \ldots , a_n ) ). \tag{2}$$ Letting $b \in H$ be a witness for (1) and $c \in M$ a witness for (2), note that $c \in H$. Note, also, that $$M \models ( \forall u ) ( u \in c \leftrightarrow \varphi ( u , a_1 , \ldots , a_n ) ), \tag{3}$$ and so by elementarity $$H \models ( \forall u ) ( u \in c \leftrightarrow \varphi ( u , a_1 , \ldots , a_n ) ).\tag{4}$$ But now logic intervenes and tells us that $$H \models ( \forall u ) ( u \in b \leftrightarrow u \in c )$$ and if the Axiom of Extensionality is true in $H$ (which in practice it always will), then $$H \models c = b.$$ And so that set $b$ is an element of $M$.

No podemos garantizar que cualquier conjunto en $M$ es un subconjunto de a $M$ (en particular, el conjunto de $\mathbb{R}$ de los números reales va a ser un elemento de cualquier contables primaria submodel $M$ de un adecuado $H$, pero desde $M$ es contable no puede ser que $\mathbb{R} \subseteq M$).