Cómo para encontrar el mayor entero puede expresarse como el producto de enteros consecutivos de $n$ $n!$ que $n - 3$

Question

Necesito encontrar el mayor entero $n$ que $n!$ puede expresarse como el producto de enteros consecutivos de $n - 3$. Ejemplo: $7! = 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 $

Answer 1

Observe que $(n+1)\times n \times \dots \times 5 > n!$ $n\geq 24$. Por lo tanto debemos tener $n\leq 23$.

En el otro mano $(23+1)\times 23 \times \dots \times 5 = 23!$. Así que la respuesta es $23$, como la canción de Miley Cyrus.

Answer 2

$n=23$ tiene una respuesta.

Dado que el $\binom{K}{n-3} = \frac{K(K-1)\cdot(K-(n-2))}{(n-3)!}$ esto significa que quieres un $K$:

$$\binom{K}{n-3} = n(n-1)(n-2)$$

Ahora, $\binom{K}{n-3}$ es una función creciente a medida que aumenta el $K$.

Y tenemos:

$\binom{n}{n-3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} < n(n-1)(n-2)$ y $\binom{n+1}{n-3} = \frac{(n+1)n(n-1)(n-2)}{24}> n(n-1)(n-2)$ cuando $n+1>24$. Tan sólo tienes que comprobar el % de casos $n\leq 23$.

Answer 3

Claramente $n!>n!/3!$. Ahora $ n! <(n+1)! / 4! \Leftrightarrow 24 = 4! < n + 1, $$, es decir, $n>23$. Por lo tanto, es suficiente para comprobar manualmente el % de casos $n\le 23$.

$\bullet$ $n!=(n+1)!/4!$ tiene solución $n=23$. Esto es obviamente el más grande.