$$ 237^{1002} = (23*10 + 7)^{1002} = \sum_{i=0}^{1001}23^{1002-i}10^{1002-i}\;7^i{1002 \choose i} + 7^{1002} =\\ [\textit{some huge honking multiple of }10] + 7^{1002} = \\ [\textit{some huge honking multiple of } 10] + 49^{501} = \\ [\textit{some huge honking multiple of }10] + (50 - 1)^{501} =\\ [\textit{some huge honking multiple of }10] + [\textit{some other gorfurshlugging multiple of }10] + (-1)^{501} =\\ [\textit{some huge honking multiple of }10] + [\textit{some other gorfurshlugging multiple of }10] - 1 = \\ [\textit{some huge honking multiple of }10] + [\textit{one less than some other gorfurshlugging multiple of }10] + 9 $$
Así que el último dígito es $9$ . La cosa es que sólo los últimos dígitos importan, y los últimos dígitos se alternarán entre $1, 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3$ . Así que sólo necesitas el último dígito y el resto de $1002$ dividido por $4$ .
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Curso intensivo de aritmética modular:
Si tiene algún número entero $N$ y tenemos dos enteros $a$ y $b$ para que $a = b \pm kN$ para algún número entero $k$ decimos $a \equiv b \mod N$ . Básicamente estamos considerando un sistema aritmético en el que consideramos los números por cuánto más de un múltiplo de $N$ lo son.
Ejemplo: Si $4732895738927 \equiv 8647 \mod 10$ porque $4732895738927 = 8647 + 10k$ . Básicamente si $a \equiv b \mod 10$ entonces $a$ y $b$ tienen el mismo último dígito que $a = b + 10k$ para algunos $k$ .
Lema: si $a \equiv b \mod N$ y $c \equiv d \mod N$ entonces:
i) $a + c \equiv b+d \mod N$
ii) $ac \equiv bd \mod N$
iii) $a^n \equiv b^n \mod N$ .
Pf: i) $a = b + kN$ , $c = d + jN$ así que $a+c = b + d + (j+k)N$ así que $a+c \equiv b+d \mod N$ .
ii) $a = b + kN$ , $c = d + jN$ así que $ac = (b+kN)(d+jN) = bd + (dk + bj)N + jkN^2 = bd + (dk + bj + jkN)N$ . así que $ac \equiv bd \mod N$ .
iii) por inducción $a^1 \equiv b^1 \mod N$ y si $a^n \equiv b^n \mod N$ entonces $a^{n+1} = a^na \equiv b^nb \mod N \equiv b^{n+1} \mod N$ .
Así que podemos aplicar esto a tu problema: $237 \equiv 7 \mod 10$ así que $237^{1002} \equiv 7^{1002}$ .
Aviso: Si considera que $0, 1,.....,N -1, N, 1 + N, ......, 2N-1, 2N, 2N + 1....$ hay como máximo $0,1,.....,N-1$ valores distintos que pueden ser equivalentes $\mod N$ así que para todos los $a^k$ sólo debe haber un número finito de cosas distintas para $a^k$ para ser equivalente $\mod N$ por lo que debe haber algún $a^k \equiv a^j \mod N$ donde $k \ne j$ .
Y si $a^k \equiv 1 \mod N$ entonces $a^{nk} = (a^k)^n \equiv 1^n \mod N \equiv 1 \mod N$ .
Así, por ejemplo $7^2 \equiv 49 \equiv 9 \mod 10$
$7^3 = 7^2*7 \equiv \mod 10 \equiv 9*7 \equiv 63 \equiv 3 \mod 10$
$7^4 = 7^3*7 \equiv 3*7 \equiv 21 \equiv 1 \mod 10$ .
Así que $7^{1000} = (7^4)^{250} \equiv 1^250 \equiv 1 \mod 10$ .
Poniendo todo esto junto:
$237^{1002} \equiv 7^{1002} = 7^{1000}*7^2 \equiv (7^4)^{250}*49 \equiv 1^{250}*49 \equiv 1*49 \equiv 9 \mod 10$
Así que $237^{1002}$ y $9$ tienen el mismo último dígito; $9$ .
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Un teorema que está más allá de este curso intensivo es El Thereom de Euler . Si $N$ y $a$ no tienen factores comunes, y si $\phi(N) = $ la cantidad de números $1,2, ....,N$ que no tienen factores comunes con $n$ ... entonces $a^{\phi(N)} \equiv 1 \mod N$ .
Así que en su problema $\phi(10) = 4$ porque $1,3,7, 9$ no tienen factores en común con $10$ mientras que $2,4,5,6,8,10$ hacer. Y $7$ y $10$ no tienen factores comunes... Así que $7^4 \equiv 1 \mod 10$ . (Y podemos probar que y $7^4 = 49*49 = 40^2 + 2*9*40 + 9^2 \equiv 81 \equiv 1 \mod 10$ .)
Así que $237^{1002} \equiv 7^{1002} \equiv (7^4)^{250}7^2 \equiv 1^{250}49 \equiv 9 \mod 10$ .
