La cuestión es encontrar el mayor entero que divide todas las $p^4-1$, donde p es un primo mayor que 5. Se le hizo esta pregunta, simplemente asume que este número existe. Set $p = 7$, entonces el $p^4-1=2400$. No tengo antecedentes en teoría del número y no está seguro de qué hacer. ¡Gracias por tu ayuda!
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Deje $n$ ser el mayor entero que divide $p^4-1$ para todos los prime $p\geq 7.$
Tenemos $11^4-1=14640$$7^4-1=2400.$$gcd$$14640$$2400$$240.$, por Lo que $$n\leq 240.$$ If $p$ is odd then modulo $16$ we have $p^4\in \{(\pm 1)^4, (\pm 3)^4,(\pm 5)^4,(\pm 7)^4\}=\{1^2,9^2, 25^2, 49^2\}=\{1^2,9^2,9^2,1^2\}=$ $=\{1,81,81,1\}=\{1\}.$
Si $p$ no es divisible por $3$, entonces el modulo $3$ tenemos $p^4\in \{(\pm 1)^4\}=\{1\}.$
Si $p$ no es divisible por $5$, entonces el modulo $5$ tenemos $p^4\in \{(\pm 1)^4,(\pm 2)^4\}=\{1,16\}=\{1\}.$
Así que para cualquier entero $p$ que no es divisible por $2,3,$ o $5$ tenemos $p^4\equiv 1 \pmod {16}$ $p^4 \equiv 1 \pmod 3$ $p^4 \equiv 1 \pmod 5;$ y desde $16,3,$ y 5 pares de co-prime, por lo tanto, $p^4\equiv 1 \pmod {16\cdot 3\cdot 5}=240,$ $$n\geq 240.$$
Hurkyl
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Deje $n$ ser el número que usted está tratando de encontrar.
Una de las principales razones para ver un ejemplo $p=7$ es obtener información acerca de $n$. Si $n$ divide a todos los $p^4 - 1$, e $7^4 - 1 = 2400$, $n$ divide $2400$.
Por lo tanto, se ha obtenido información acerca de $n$. Seguimiento — ¿qué información sabiendo que $n \mid 2400$?
En mi opinión, la próxima cosas obvias que hay que hacer es intentar el siguiente par de primos y obtener más información acerca de $n$.
Mi expectativa es que será suficiente para completamente determinar lo $n$ debe ser, o al menos reducirlo a un número muy pequeño de posibilidades, en el cual se puede girar hacia tratando de demostrar que una de las posibilidades es en realidad el valor de $n$.
Andy
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21
Desde $p^4-1$ es relativamente primer a $p$, sabemos que el divisor común no tiene grandes factores primos. De hecho, a partir de su cálculo, tendrá que ser un divisor de a $2400=2^5*3*5^2$. Sin embargo, usted podría hacer aún mejor, supongo que tratando de hacer un poco más de los números primos y, a continuación, tomar el máximo común divisor. Sin embargo, para llegar de una prueba.
Una cosa razonable es intentar factorizar el polinomio $p^4-1=(p^2+1)(p^2-1)=(p^2+1)(p+1)(p-1)$. Hay varias cosas que usted puede ver a partir de este. Por ejemplo, desde la $p$ es impar, $p\pm 1$ son tanto que incluso, como es $p^2+1$, dando al menos tres factores de $2$. De hecho, uno de $p\pm 1$ tiene que ser múltiplo de $4$ (dos números pares consecutivos), y por lo tanto sabes que $16$ brecha $p^4-1$ para todos los impares $p$ (incluso si $p$ no es primo). Pero usted debe reunir más datos para saber exactamente lo que quieres demostrar.
