Existe una función continua de $[0,1]$ $\mathbb R$que satisface

Question

Existe una función continua $f:[0,1] \to \mathbb R$ tal que $f(x) = 0$ uncountably a menudo y, para cada $x$ tal que $f(x) = 0$, en cualquier barrio de $x$ hay $a$ $b$ tal que $f(a) > 0$$f(b) < 0$?

Answer 1

Deje $K$ ser el conjunto de Cantor; recordemos que $K$ es incontable. A continuación, la función de $x\to d(x,K),$ donde $d(x,K)$ denota la distancia de $x$ $K,$es continua en a $[0,1].$ Definir

$$ f(x) = \begin{cases} 0, x \in K\\ d(x,K)\sin (1/d(x,K)), x \in [0,1]\setminus K. \end{casos}$$

Deje $I_1, I_2, \dots $ el de apertura de los intervalos de lanza en la construcción de $K.$ En cada $I_n,$ $f$ es continua. Por lo tanto $f$ es continua en a $[0,1]\setminus K.$ Si $x_n \to x \in K,$ $d(x_n,K)\to 0,$ por lo tanto lo hace $f(x_n),$, lo que implica $f$ es continua en a $x.$ $f$ es continua en a $[0,1].$

Ahora en cualquier vecindad de un punto en $K,$ uno de los $I_n$ contenidos en ese barrio, por lo tanto $f$ va a ser tanto positivo como negativo en el barrio debido a la $\sin (1/d(x,K))$ plazo.

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Añadido: acabo de darme cuenta de que he omitido discutir los puntos en $[0,1]\setminus K$ donde $f=0.$ Que sucede en un $x$ tal que $d(x,K)=1/(m\pi)$ algunos $m\in \mathbb {N}.$ Debido a que cada una de las $I_n$ tiene una longitud de $1/3^k$ algunos $k,$ tal $x$ no pudo ser el punto medio de cualquiera de los $I_n.$ entonces $x$ es a la derecha o a la izquierda del punto medio de lo $I_n$ a que pertenece, y por lo tanto $d(\cdot,K)$ será estrictamente creciente o decreciente en un barrio de $x,$, lo que implica un cambio en el signo de $f$ a que $x$ como se desee.

Answer 2

Además del cuidado construidos ejemplos que otros han dado, sólo quiero señalar que, con probabilidad de $1$ unidimensional movimiento Browniano de partida en $0$ tiene estas propiedades.

Answer 3

Absolutamente. Por ejemplo, podemos proceder de una manera similar a la definición de la función de Cantor, utilizando el "tercio medio de la construcción del conjunto de Cantor. En la primera etapa, se elimina el "tercio medio" $(\frac13,\frac23)$ $[0,1],$ y en este intervalo, definimos $f(x)=(x-\frac12)^2+c_1$ donde $c_1$ es el único número que $f(x)\to 0$ $x\searrow\frac13$ $x\nearrow\frac23.$ (os dejo su determinación.)

En la segunda etapa, se eliminan los dos del medio "tercios" $(\frac19,\frac29)$$(\frac79,\frac89)$. En el primero de estos, definimos $f(x)=-(x-\frac16)^2+c_2,$ donde $c_2$ es el número único de modo que $f(x)\to 0$ $x\searrow\frac19$ $x\nearrow\frac29.$ en el segundo, se define por $f(x)=-(x-\frac56)^2+c_2,$ y podemos demostrar que $f(x)\to 0$ $x\searrow\frac79$ $x\nearrow\frac89.$ (yo lo dejo a usted para buscar $c_2$ y comprobarlo.

Procedemos de la misma manera. En el $n$th etapa, quitamos $2^{n-1}$ abierto intervalos de la forma $\left(m-\frac1{2\cdot3^n},m+\frac1{2\cdot3^n}\right),$ y hay algunos $c_n$ tal que para cualquier "medio" tercer intervalo, podemos definir la función en ese intervalo por $f(x)=(-1)^{n-1}(x-m)^2+c_n,$ y tenemos la propiedad que $f(x)\to0$ $x\searrow m-\frac1{2\cdot3^n}$ $x\nearrow m+\frac1{2\cdot3^n}.$

Finalmente, definimos $f(x)=0$ sobre el conjunto de Cantor, sí. A continuación, $f$ tiene exactamente las propiedades que se necesitan, y de hecho es diferenciable en todas partes, pero en los extremos de la "tercio medio" intervalos, creo.

Answer 4

Sí.

Nuestra función será la $0$ sobre el conjunto de Cantor y en ningún otro lugar. Para mayor comodidad podemos definir un repunte de la función $S(a, b)(x) = \mathbb{1}_{[a, b]}(x) \cdot \min\{|a-x|, |b-x|\}$ que es un continuo, de manera positiva, compacto soporte de la función en el intervalo de $[a, b]$. La idea será la de añadir una contables de la colección de pico de funciones para finalmente satisfacer sus condiciones.

Así, permite a un aproximado de la función en una serie de contables pasos. En primer lugar, vamos a $f_1 = S(1/3, 2/3)$. La mayor distancia de un punto con el positivo valor de la función es ahora $1/3 = \delta_1$. Deje $f_2 = f_1 - (S(1/9, 2/9) + S(7/9, 8/9))$. Ahora, la mayor distancia desde un punto en $x\in [0, 1]$ $f_2(x) = 0$ a un punto con $y\in [0, 1]$ $f_2(y)<0$ ahora $1/9 = \delta_2$. Procediendo de esta manera, podríamos añadir la próxima $4$ picos para obtener $f_3 = f_2 + \sum_{i = 1, 7, 19, 25} S(i/27, (i+1)/27)$, e $\delta_3 = 1/27$, restar $8$ picos para obtener $f_4$

Afirmo que el límite de la $\{f_n\}$ existe, está bien definido, y satisface sus condiciones, porque el $\delta_n\to 0$.

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Terminó como una pennance para no leer la pregunta correctamente.