Si $X_i$ son iid, encontrando $E(X_1 + X_2 + \cdots + X_k \mid X_1 + X_2+ \cdots +X_n=b)$

Question

Me pregunto si alguien puede ayudarme a probar la siguiente identidad:

Dada una serie de variables aleatorias i.i.d. no negativas $X_1, X_2, ..., X_n$ entonces $$E(X_1+X_2+ \cdots +X_k \mid X_1+X_2+ \cdots +X_n=b)=b \cdot \frac{k}{n} .$$

Answer 1

Puede reducirse al caso en que $k = 1$ porque la expectativa es un operador lineal.

Desde $X_i$ son i.i.d., $$ \mathbb E(X_i \, | \, X_1 + \dots + X_n = b ) $$ no depende de $i$ (siempre que $1 \le i \le n$ ). Así, $$ n \, \mathbb E \left( X_i \, \left| \sum_{i=1}^n X_i = b \right. \right) = \sum_{i=1}^n \, \mathbb E \left(X_i \, \left| \, \sum_{i=1}^n X_i = b \right. \right) = \mathbb E \left( \sum_{i=1}^n X_i \, \left| \, \sum_{i=1}^n X_i = b \right. \right) = b $$ para que $$ \mathbb E \left( X_i \, \left| \sum_{i=1}^n X_i = b \right. \right) = \frac bn. $$ Su caso puede resolverse entonces por linealidad de expectativas.

Espero que le sirva de ayuda,