¿Alguien puede ilustrar la definición de colector con un ejemplo sencillo?

Question

En mi texto la definición de un diferencial de colector se da de la siguiente manera:

Un subconjunto $M$ $\mathbb{R}^n$ $k$ dimensiones del colector de si $\forall x \in M$ hay subconjuntos $U$ $V$ $\mathbb{R}^n$ con $x \in U$ y diffeomorphism $f$ $U$ $V$

tal que

$f(U ∩ M) = \{y \in V: y^{k+1} =...=y^n = 0\}$

Por lo tanto un punto de $y$ $im(f)$ tiene representación $y = (y^1(x), y^2(x),...,y^k(x), 0 ...0)$

Hay demasiados paquetes van en el mismo momento en que estoy totalmente perdido. Alguien puede motivar esta definición a través de un ejemplo sencillo? es decir, mostrando que una línea es un colector de 1D en 1D, 2D espacios

Answer 1

un buen ejemplo es la 2-esfera $\Bbb{S}^2$, el cual es descrito en $\Bbb{R}^3$ por la ecuación: $$ x^2+y^2+z^2=1 $$

esta es una de 2 dimensiones de la superficie pero no se puede dar una 2-parámetros del sistema de coordenadas que trabaja para el conjunto de la esfera (es decir, a nivel mundial). esta situación se hizo familiar a la 18 ª siglo matemáticos como la proyección problema para los mapas de toda la superficie de la esferoidal de la Tierra. por ejemplo, las coordenadas $(x,y)$ trabajo ACEPTAR para el hemisferio norte o en el hemisferio sur, pero si este sistema se aplica a la totalidad de la esfera en cualquier punto de $(x,y,z)$ $z \ne 0$ tiene el mismo sistema de coordenadas como el punto de $(x,y,-z)$

coordenadas debe ser único.

así que lo hacemos lo mejor que podemos, y restaurar la singularidad a expensas de la cobertura global. básicamente cubrimos $\Bbb{S}^2$ con una familia de abrir conjuntos de $U^{\alpha}$ y dar un único conjunto de coordenadas para cada una de las $U^{\alpha}$. por el conjunto de coordenadas nos referimos a un mapa de $\phi_{\alpha}:U^{\alpha} \to U_{\alpha}$ donde $U_{\alpha} $ es un conjunto abierto en $\Bbb{R}^2$ y el mapa de $\phi_{\alpha}$ es un bi-único mapa. generalmente el $\phi_{\alpha}$ son necesarias para satisfacer una suavidad condición (en ambas direcciones), tales como ser dos veces diferenciable, o infinitamente diferenciable, o (en el caso de los complejos colectores) siendo un holomorphic función. en el ligeramente simplificada de la notación empleada aquí, tiene sentido usar el símbolo $\phi^{\alpha}$ a significar la inversa mapa de $\phi_{\alpha}^{-1}$.

este uso de la parte superior e inferior de los índices se hacen intuitiva sentido si se piensa en el colector como la mentira más de $\Bbb{R}^2$

tenga en cuenta que $\phi^{\alpha} \circ \phi_{\alpha}$ es el mapa de identidad en el conjunto abierto $U^{\alpha}$ en el colector , mientras que $\phi_{\alpha} \circ \phi^{\alpha}$ es la identidad en el abierto correspondiente subconjunto $U_{\alpha}=\phi_\alpha(U^\alpha)$ $\Bbb{R}^2$

este uso de índices tiene sentido si se piensa en un subconjunto abierto del colector como por encima de las coordenadas de la imagen en $\Bbb{R}^2$

un par de $(U^{\alpha}, \phi_\alpha)$ es llamado co-ordenadas del gráfico y, por supuesto, $\phi_\alpha$ toma la forma de un par ordenado de las funciones con valores de $(\phi_{\alpha,x},\phi_{\alpha,y)}$, de forma que para cualquier punto de $p$ en el colector que se encuentra en el gráfico de dominio $U^\alpha$ tenemos las coordenadas $x=\phi_{\alpha,x}(p)$ $y=\phi_{\alpha,y}(p)$

gestionamos la cobertura global asegurándose de que tenemos suficiente gráficos que sus dominios de forma abierta la cubierta del colector. una colección de cartas que se llama un atlas (que sigue la adecuada históricamente metáfora cartográfica).

a menos que el colector tiene más de 1 componente conectado y cada componente puede ser abordado por una sola tabla (esto ocurre, por ejemplo, en un colector que consiste en un conjunto de dos o más mutuamente disjuntas abrir segmentos de línea) sólo podemos restaurar la cobertura mundial por tener algunos de la tabla de dominios de superposición. donde se solapan tenemos que tener en inducida por la suave mapa entre dos subconjuntos de a $\Bbb{R}^2$. (se puede o no se superponen). esto requiere que tanto los siguientes mapas compuestos deben ser lisos, bi-mapas únicos entre los subconjuntos de a $\Bbb{R}^2$.

$$ \phi_\beta \circ \phi^\alpha: \phi_\alpha(U^\alpha \cap U^\beta) \a \phi_\beta(U^\alpha \cap U^\beta) $$ y $$ \phi_\alpha \circ \phi^\beta: \phi_\beta(U^\alpha \cap U^\beta) \a \phi_\alpha(U^\alpha \cap U^\beta) $$ para la esfera que casi se podría obtener con dos gráficos como se definió anteriormente para hemisferios opuestos. sin embargo el ecuador está excluida. esto no es un simple problema técnico, y pensando en ello, en términos de las dos condiciones que se acaba de describir, se aclara la razón por la tabla de dominios se deben abrir los subconjuntos.

un simple atlas de las $\Bbb{S}^2$ se obtiene a partir de seis gráficos almacén dominios son, respectivamente, los tres pares de abrir hemisferios cortada por los planos $x=0,y=0,z=0$.

cada par tiene un ecuador que no se pueden asignar. si tenemos dos pares, a continuación, los dos polos - que el ecuadores cumplir - siguen siendo un problema. pero cuando tenemos todos los tres pares de cartas que no hay un punto a la izquierda en paradero desconocido.

aunque el diseño bidimensional de una ciudad podría ser muestra con un gráfico único, de hecho, para mayor comodidad, un atlas en el que se utiliza aún en este caso donde no es, como en el caso de la esfera, obligatorio. el $A-Z$ libros de mapas de ciudades de ello, y te darás cuenta de que el gráfico de los dominios de la superposición de los bordes, con indicador de números de referencia para la adecuada continuación de las páginas. estos representan el (lineal tranlation) los mapas de $\phi_\alpha \circ \phi^\beta$.

la idea de una coordenada atlas es bastante simple. lo que toma tiempo y esfuerzo para ajustar su pensamiento a utilizar tabla de mapas y sus inversas, para el transporte de ti mismo en cualquier dirección entre un barrio en el colector y un barrio en $\Bbb{R}^2$. porque es en $\Bbb{R}^2$ que podemos aplicar la poderosa maquinaria del cálculo.

un bono viene cuando te das cuenta de que es posible definir un colector en términos de las transformaciones entre los gráficos de un atlas incluso si no tenemos un global de integración en las dimensiones superiores, real o complejo espacio ortogonal.

Answer 2

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}$Deje $k$ $n$ ser enteros no negativos con $k \leq n$. El ejemplo más simple de un $k$-colector en $\Reals^{n}$ es \begin{align*} M = \Reals^{k} &= \{(y^{1}, \dots, y^{n}) \text{ in } \Reals^{n} : y^{k+1} = \dots = y^{n} = 0\} \\ &= \{(y^{1}, \dots, y^{k}, 0, \dots, 0) : \text{%#%#% real for each %#%#%}\}. \end{align*} Si $y^{i}$ $i = 1, \dots, k$ es arbitraria abrir barrio de $y \in M$, el mapa de identidad de $U$ $y$satisface la definición.

Para desentrañar la definición en general, es probablemente más fácil mirar hacia atrás: Supongamos que usted tiene un diffeomorphism $U$ definido en algunas abrir balón $V = U$ centrada en el origen $\phi$$V$. El conjunto $0$ $\Reals^{n}$- dimensiones submanifold de $M = \phi(V \cap \Reals^{k})$. Por qué? Porque si ponemos $k$$\Reals^{n}$, $U = \phi(V)$ es una vecindad de cada punto de $f = \phi^{-1}$, e $U$ es un diffeomorphism tal que $$ f(U \cap M) = V \cap \de Reales^{k} = \{y \text{ en } V : y^{k+1} = \dots = y^{n} = 0\}. $$ (Un diffeomorphism $M$ se llama (local) parametrización de $f:U \to V$; un diffeomorphism $\phi$ como en la definición de un (local) del sistema de coordenadas en $M$.)

Entonces, ¿por qué es la definición ", declaró hacia atrás"? En la práctica, por lo general tiene un conjunto $f$ en la mente, no una parametrización cuya imagen es de interés. Si usted comienza con un conjunto $M$, la pregunta natural es, "Si $M$ es un punto arbitrario de $M$, ¿existe una parametrización de algunas abrir barrio de $x$$M$?" Al hacer esta noción precisa, ya tienes tu libro de la definición.

Lo que esto significa es que si usted tiene algunos de los "favoritos" diffeomorphisms, usted puede escribir un montón de variedades. Usted no tiene favoritos? Permítanme sugerir algunas. :)

Deje $x$ ser un no-vacío conjunto abierto, y deje $M$ ser un suave asignación. El gráfico de $V \subset \Reals^{k}$, $$ \Gamma_{g} = \{(x, y) \text{ en } V \times \Reales^{n-k} : y = g(x)\} $$ es un buen $g:V \to \Reals^{n-k}$-dimensiones submanifold de $g$. Para ver por qué, escribir $k$. La asignación de $\Reals^{n}$ definido por $$ \phi(x^{1}, \dots, x^{n}) = (x^{1}, \dots, x^{k} x^{k+1} + y^{1}, \dots, x^{n} + y^{n-k}), \qquad x \V \times \Reales^{n-k} $$ es un diffeomorphism la parametrización un gráfico. (Si $g(x^{1}, \dots, x^{k}) = (y^{1}, \dots, y^{n-k})$$\phi:V \times \Reals^{n-k} \to V \times \Reals^{n-k}$,$k = 1$. Asegúrese de entender el efecto geométrico de esta asignación.) Puntos a verificar: $n = 2$ es suave, bijective, y ha liso inversa; la imagen de $\phi(x^{1}, x^{2}) = \bigl(x^{1}, x^{2} + g(x^{1})\bigr)$$\phi$.

Un elemento más a debe ser mencionado, ya que su definición de "colector" no es la "intrínseca" de la definición utilizada en cursos más avanzados.

Teorema: Vamos a $V \cap \Reals^{k}$ ser un no-vacío abierto subconjunto de $\Gamma_{g}$. Si $W$ es suave, adecuado, bijective a su imagen, y si el diferencial de $\Reals^{k}$ máximo rango $g:W \to \Reals^{n}$ en cada punto de $Dg$, entonces la imagen de a $k$ $W$- dimensiones submanifold de $M = g(W)$.

(Una asignación es adecuada si la preimagen de cada conjunto compacto es compacto. Esta condición impide que fenómenos tales como envolver un intervalo abierto para hacer una figura-8, o tener una curva de viento de alrededor de sí mismo como una "línea de irracional pendiente" en un toro.)

La prueba implica que muestra que $k$, seguido por algunos de proyección a un $\Reals^{n}$-dimensional de coordenadas subespacio es un diffeomorphism entre abrir los subconjuntos de a $g$ (fácil de álgebra lineal), entonces se extiende $k$ a algunos vecindario $\Reals^{k}$ $g$ $V$ (inteligente, pero natural en retrospectiva), y, finalmente, invocando el teorema de la función inversa ("las pinzas de presión de cálculo multivariable") para garantizar que la extensión del mapeado es un diffeomorphism en algún conjunto abierto (posiblemente menor que $W$).

Answer 3

En palabras simples, $M$ $k$- dimensiones del colector en $\mathbb{R}^n$ significa que para todos los $x\in M$ existe $U$ un barrio de $x$ tal que $U\cap M$ es diffeomorphic a un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^k$.Un local diffeomorphism tiene que existir para cada punto de $M$.

Ejemplo : alrededor de cada punto de un círculo, se puede encontrar un barrio abierto que puede ser asignada (con un diffeomorphism) a un subconjunto abierto de $\mathbb{R}$. Es por eso que un círculo es un 1-dimensionnel colector.

Intuitivamente, es la "dimensión real" del objeto.

Answer 4

Deje $M$ ser la línea de $x=0$, y para cualquier punto de $M$, vamos a $U=\Bbb{R}^2$, vamos a $f$ ser la transformación lineal $$f(x,y)=\pmatrix{0 & 1 \\ 1 & 0}\pmatrix{x \\ y}.$$

Entonces a partir de la $f$ es lineal es un diffeomorphism, y $$f(U\cap M)=f(M)=f(\{(0,y):y\in\Bbb{R}\})=\left\{\pmatrix{0 & 1\\ 1 & 0}\pmatrix{0\\y} : y\in\Bbb{R}\right\} = \{(y,0):y\in\Bbb{R}\}$$

Honestamente no estoy seguro de que este es particularmente revelador, aunque cambiando el argumento ligeramente, se muestra cualquier línea es un colector. Esencialmente lo que la definición está diciendo es que por cada punto de $x\in M$, hay algunos vecindario $U$ $x$ de manera tal que la parte del colector de cerca de $x$ parece algún conjunto abierto en un plano $k$espacio tridimensional $V$ (desde el último $n-k$ coordenadas vaya a 0). Donde se ve como es una especie de no técnicos, término que significa aquí a través de un diffeomorphism $f$.